第一章1.3全称量词与存在量词一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列命题：(1)至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立．(2)对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立．(3)对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立．(4)存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有()A．1个B．2个C．4个D．0个[答案]B[解析](1)中的量词“至少有一个”和(4)中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．(2)、(3)中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题．故选B．3．下列命题中的假命题是()A．存在x∈R，lgx＝0B．存在x∈R，tanx＝1C．任意x∈R，x3＞0D．任意x∈R,2x＞0[答案]C[解析]本题主要考查全称命题和特称命题真假的判断．对于选项C，当x<0时，x3<0，故C是假命题．4．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1[答案]C[解析]本题考查了全称、存在命题及命题的否定．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．这类题目应遵循“存在变任意(任意变存在)，再否定结论”的原则．5．下列四个命题中，其中为真命题的是()A．任意x∈R，x2＋3<0B．任意x∈N，x2≥1C．存在x∈Z，使x5<1D．存在x∈Q，x2＝3[答案]C[解析]由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“任意x∈R，x2＋3<0”为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x2≥1”是假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，所以命题“存在x∈Z，使x5<1”为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x∈Q，x2＝3”是假命题．故选C．6．命题“存在x0∈∁RQ，x∈Q”的否定是()A．存在x0∉∁RQ，x∈QB．存在x0∈∁RQ，x∉QC．任意x∉∁RQ，x3∈QD．任意x∈∁RQ，x3∉Q[答案]D[解析]本题考查量词命题的否定改写．任意x0∈∁RQ，x∉Q，注意量词一定要改写．二、填空题7．给出下列命题：①任意x∈R，是无理数；②任意x、y∈R，若xy≠0，则x、y至少有一个不为0；③存在实数既能被3整除又能被19整除；④x>1是<1的充要条件．其中真命题为________________．[答案]②③[解析]①是假命题，例如是有理数；②是真命题，若xy≠0，则x，y全都不为0；③是真命题；④x>1是<1的充分不必要条件．8．填上适当的量词，使下列命题为真命题．(1)_________x∈R，使x2＋2x＋1≥0.(2)_________α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ.(3)__________a，b∈R，使方程组有唯一解．(4)__________m∈R，___________n∈R，使mn＝n.[答案](1)任意(2)存在(3)存在(4)任意，存在或填存在，任意或存在，存在均可．三、解答题9．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)每一个非负数的平方都是正数；(3)有的四边形没有外接圆；(4)某些梯形的对角线互相平分．(5)有些质数是奇数；(6)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[解析](1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定是非p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此非p是真命题．(2)命题的否定：存在一个非负数的平方不是正数，是真命题．(3)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题．(4)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．(5)命题的否定为：所有的质数不是奇数．很明显，质数3就是奇数，所以命题的否定是假命题．(6)命题的否定为：存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.因为原命题是真命题，所以命题的否定为假命题．10．若命题“对任意x∈R，关于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”为真命题，求a的取值范围．[解析]当a＝－1时，不等式不成立；当a＝1时，原不等式恒成立．当a2－1≠0时，所以－
