第一章1.3全称量词与存在量词一、选择题1.下列命题中全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.A.0B.1C.2D.3[答案]C[解析]①②是全称命题,③是特称命题.2.下列命题:(1)至少有一个x,使x2+2x+1=0成立.(2)对任意的x,都有x2+2x+1=0成立.(3)对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立.(4)存在x,使x2+2x+1=0成立.其中是全称命题的有()A.1个B.2个C.4个D.0个[答案]B[解析](1)中的量词“至少有一个”和(4)中的量词“存在”都不是全称量词,故这两个命题不是全称命题.(2)、(3)中的量词“任意的”是全称量词,所以这两个命题是全称命题.故选B.3.下列命题中的假命题是()A.存在x∈R,lgx=0B.存在x∈R,tanx=1C.任意x∈R,x3>0D.任意x∈R,2x>0[答案]C[解析]本题主要考查全称命题和特称命题真假的判断.对于选项C,当x<0时,x3<0,故C是假命题.4.命题“存在实数x,使x>1”的否定是()A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x,使x≤1C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x,使x≤1[答案]C[解析]本题考查了全称、存在命题及命题的否定.“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”.这类题目应遵循“存在变任意(任意变存在),再否定结论”的原则.5.下列四个命题中,其中为真命题的是()A.任意x∈R,x2+3<0B.任意x∈N,x2≥1C.存在x∈Z,使x5<1D.存在x∈Q,x2=3[答案]C[解析]由于任意x∈R,都有x2≥0,因而有x2+3≥3,所以命题“任意x∈R,x2+3<0”为假命题;由于0∈N,当x=0时,x2≥1不成立,所以命题“任意x∈N,x2≥1”是假命题;由于-1∈Z,当x=-1时,x5<1,所以命题“存在x∈Z,使x5<1”为真命题;由于使x2=3成立的数只有±,而它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平方能等于3,所以命题“存在x∈Q,x2=3”是假命题.故选C.6.命题“存在x0∈∁RQ,x∈Q”的否定是()A.存在x0∉∁RQ,x∈QB.存在x0∈∁RQ,x∉QC.任意x∉∁RQ,x3∈QD.任意x∈∁RQ,x3∉Q[答案]D[解析]本题考查量词命题的否定改写.任意x0∈∁RQ,x∉Q,注意量词一定要改写.二、填空题7.给出下列命题:①任意x∈R,是无理数;②任意x、y∈R,若xy≠0,则x、y至少有一个不为0;③存在实数既能被3整除又能被19整除;④x>1是<1的充要条件.其中真命题为________________.[答案]②③[解析]①是假命题,例如是有理数;②是真命题,若xy≠0,则x,y全都不为0;③是真命题;④x>1是<1的充分不必要条件.8.填上适当的量词,使下列命题为真命题.(1)_________x∈R,使x2+2x+1≥0.(2)_________α,β∈R,使cos(α-β)=cosα-cosβ.(3)__________a,b∈R,使方程组有唯一解.(4)__________m∈R,___________n∈R,使mn=n.[答案](1)任意(2)存在(3)存在(4)任意,存在或填存在,任意或存在,存在均可.三、解答题9.写出下列命题的否定并判断真假:(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;(2)每一个非负数的平方都是正数;(3)有的四边形没有外接圆;(4)某些梯形的对角线互相平分.(5)有些质数是奇数;(6)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.[解析](1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”,其否定是非p:“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”,注意到当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程没有实根,因此非p是真命题.(2)命题的否定:存在一个非负数的平方不是正数,是真命题.(3)命题的否定:所有的四边形都有外接圆,是假命题.(4)命题的否定:任一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.(5)命题的否定为:所有的质数不是奇数.很明显,质数3就是奇数,所以命题的否定是假命题.(6)命题的否定为:存在α∈R,使sin2α+cos2α≠1.因为原命题是真命题,所以命题的否定为假命题.10.若命题“对任意x∈R,关于x的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-1<0都成立”为真命题,求a的取值范围.[解析]当a=-1时,不等式不成立;当a=1时,原不等式恒成立.当a2-1≠0时,所以-