§1.1.1正弦定理1.在△ABC中,a=3,A=30°,B=15°,则c等于A.1B.C.3D.解析C=180°-30°-15°=135°,c===3.应选C.答案C2.△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值是A.B.C.1D.解析由正弦定理,==,所以=2=2×=.故选D.答案D3.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC等于A.4B.2C.D.解析由正弦定理得=,所以AC===2.故选B.答案B4.△ABC中,已知a=,b=2,B=45°,则角A等于A.30°或150°B.60°或120°C.60°D.30°解析因为a=,b=2,B=45°,所以=,可得sinA=sin45°=,又a<b,可得A<B,所以∠A=30°.故选D.答案D5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=,b=,B=120°,则a=________.解析在△ABC中,由正弦定理,有=,所以sinC==,所以C=30°或150°(舍去).1所以A=30°,所以a=c=.答案[限时45分钟;满分80分]一、选择题(每小题5分,共30分)1.若A=30°,B=45°,BC=3,则AC=A.B.3C.4D.6解析由=,得=,则AC==6.答案D2.在△ABC中,b+c=+1,C=45°,B=30°,则A.b=1,c=B.b=,c=1C.b=,c=1+D.b=1+,c=解析∵====2,∴b=1,c=.答案A3.在△ABC中,已知c=,A=,a=2,则b=A.+1B.或C.+1或-1D.-1解析由正弦定理可得sinC==,又c>a,所以C>A,所以C=或,当C=时,B=,b==+1,当C=时,B=,b==-1,故选C.答案C4.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,若△ABC的周长为4(+1),且sinB+sinC=sinA,则a=A.B.2C.4D.2解析根据正弦定理,sinB+sinC=sinA可化为b+c=a,∵△ABC的周长为4(+1),∴解得a=4.故选C.2答案C5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=b,A=2B,则cosB等于A.B.C.D.解析在△ABC中,因为所以所以cosB=.答案B6.(能力提升)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsinB=csinC且sin2A=sin2B+sin2C,则该三角形是A.等腰直角三角形B.等边三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析因为bsinB=csinC,所以b·b=c·c,即b=c,又sin2A=sin2B+sin2C,所以a2=b2+c2,即△ABC为直角三角形;而b=c,所以△ABC为等腰直角三角形.答案A二、填空题(每小题5分,共15分)7.在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=________.解析由正弦定理=,得=,所以sinB=,又a>b,所以∠B=.答案8.在△ABC中,A=60°,a=,则=________.解析由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,得=2R===.答案9.(能力提升)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2b,则=________.解析由正弦定理及bcosC+ccosB=2b,可得sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,所以sinA=2sinB,故==2.答案23三、解答题(本大题共3小题,共35分)10.(11分)在△ABC中,已知b=6,c=6,C=30°,求a.解析由正弦定理,得=,得sinB==.因为b>c,所以B>C=30°,所以B=60°或120°.当B=60°时,A=90°,a===12.当B=120°时,A=30°,a===6.所以a=6或12.11.(12分)△ABC中,如果lga-lgc=lgsinB=-lg,且B为锐角,试判断此三角形的形状.解析因为lgsinB=-lg,所以sinB=,又因为0°<B<90°,所以B=45°,由lga-lgc=-lg,得=.由正弦定理得=,即2sin(135°-C)=sinC,即2(sin135°cosC-cos135°sinC)=sinC.所以cosC=0,得C=90°.又因为B=45°,所以A=45°,从而△ABC是等腰直角三角形.12.(12分)(2016·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.(1)求B;(2)若cosA=,求sinC的值.解析(1)在△ABC中,由=,可得asinB=bsinA,又由asin2B=bsinA,得2asinBcosB=bsinA=asinB,所以cosB=,得B=.(2)由cosA=,可得sinA=,4则sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin=sinA+cosA=.5