竞赛讲座26－平面图形的面积1．关于面积的两点重要知识（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方例1（第2届美国数学邀请赛题）如图40-1，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形t1、t2和t3的面积分别为4，9和49．求△ABC的面积．解设T是△ABC的面积，T1、T2和T3分别是三角形t1、t2和t3的面积；c是边AB的长，c1、c2和c3分别是平行于边AB的三个三角形t1、t2和t3的边长．那么，由四个三角形相似，得（2）两边夹角的三角形面积，灵活运用△ABC的面积公式S=可以方便地解决一些较难的面积问题．例2已知P、Q、R、S四点分别由四边形的四个顶点A、B、C、D同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动（如图40-2），已知P由A至B，R由C至D分别需要两秒钟；Q由B至C，S由D至A分别需要1秒钟；问开始运动后，经过多少时间，四边形PQRS的面积最小？解设P的速度是Q的速度是;R的速度是,S的速度是.在t(0＜t≤1)秒时,AP=设四边形PQRS和四边形ABCD的面积分别为S′、S.①②③④①+③得,②+④得,当t=′有极小值．答:经过秒后,四边形PQRS面积最小．下面是一个用不等式来证明相等问题的例子．例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS是面积为A的四边形.O是在它内部的一点,证明:如果2A=OP2+OQ2+OR2+OS2那么PQRS是正方形并且O是它的中心．证明如图40-3，按题设有此处无图p2+q2+r2+s2=pqsinα+qrsinβ+rsinγ+spsinδ≤pq+qr+rs+sp①依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号．由①取等号有由②取等号有p=q=r=s因此PQRS是正方形,O是它的中心.2.等积变换与面积法等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题．例4(第17届苏联竞赛题)图40-4中阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影的三个四边形的面积也相等．证明如图:连ME、NC. S△NME=S△CEM，∴ME∥NC．若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得．这样，则N为BE中点．又同理可证例5（第9届全俄中学竞赛题）如图40-5在凸五边形ABCDE中，对角线CE分别交对角线BD、AD于F、G，BF：FD=5：4，AG：GD=1：1，CF：FG：GE=2：2：3，求△CFD和△ABE的面积比．解连AF. CF：FG：GE=2：2：3，∴S△CFD：S△DFG：S△DEG=2：2：3.S△CFD=S,则S△FDG=S，S△DGF=S.又BF：FD=5：4，∴S△BEF:S△FDE=5：4．∴S△BEF=(S△FDG+S△DEG)=S又由BF：FD=5：4，∴S△ABF:S△AFD=5：4．∴S△ABE=SABFE-S△BFE=（S△ABF+S△AFG+S△AGE）-S△BFE=5S-S=S( AG:GD=1:1).即S△CFD:S△ABE=8:15.例6六边形ABCDEF内接于⊙O,且AB=BC=CD=(如图40-6(a)),求此六边形的面积.分析如果连OA、OB、OC、OD、OE、OF，那么容易看出S△AOB=S△BOC=S△COD，S△DOE=S△EOF=S△FOA．=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOE+S△EOF+S△FOA．从加法满足交换律联想到图形可以改变位置而重新组合,于是把已知六边形改成等积的新的六边形A′B′C′D′E′F′,其中,⊙O与⊙O′为等圆,且A′F′=B′C′=D′E′=1,A′B′=C′D′=E′F′=把A′B′,C′D′,E′F′分别向两方延长得交点M、N、P(如图40-6(b)),容易证明∠B′A′F′=120°等,从而△MNP为等边三角形.例7（1962年上海竞赛题）已知△ABC∽△A′B′C′如图40-7，AB=c,BC=a,CA=b,A′、B′、C′到BC、CA、AB的距离分别为l、m、n.求证：la+mb+nc=2S△ABC.分析欲证上述结论，只须证S△ABC+S△B′CA+S△C′AB=S△ABC．我们试想,当△A′B′C收缩为一点时,上式显然成立,因此,如果我们能够做到在将△A′B′C′逐渐“收缩”为一点的过程中，保持左边三项的面积始终不变，那么问题便解决了.为了保持△A′BC面积不变，我们试用“等积”工具，设法使A′沿平行于BC的直线运动，同样B′、C′分别沿着平行于CA、AB的直线运动.而这三条分别平行于BC、CA、AB的直线如能共点，即反映△A′B′C′可收缩为一点．证明分别过B′，C′作直线B′D∥CA，C′D∥BA，直线C′D交B′D于D、交BC于E．则∠C′DB′=∠BAC，又△ABC∽△A′B′C′，∴△∠B′A′C′=∠BAC=∠C′D′B′．这说明C′、D′、A′、B′四点共圆，∴∠A′DC′＝A′B′C′＝∠ABC＝∠DEC，∴A′D∥BC．过D分...
