圆锥曲线中的最值问题分析试卷VIP免费

圆锥曲线中的最值问题分析一直以来，圆锥曲线部分的内容都是高考命题中的热点问题，也是学生手中的烫手山芋，而圆锥曲线中的最值问题又因为其涉及的方法多样、应用灵活、知识面广，使得许多命题者都作为区分学生成绩层次的好题来出。下面我就此问题谈谈我个人的一些看法。圆锥曲线中的最值问题，通常有两类：一类是有关长度、面积等的最值总是另一类是圆锥曲线中有关几何元素(长轴、短轴、实轴、虚轴、离心率等)的最值问题。解决这些问题往往通过回归定义，结合几何知识以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。例1、若点P的坐标是（），F为椭圆的右焦点，点Q在椭圆上移动，当|QF|+|PQ|取最小值时，求点Q坐标，并求最小值。分析：为求|QF|+|PQ|的最小值，应考虑将其转化成某折线段，由于点Q在椭圆上移动，自然要考虑椭圆的定义，通过比较会发现与焦半径有关，所以采用第二定义。）解答：在椭圆中，a=4,b=,c=2,e=右准线l的方程为x=8如图1所示，过点Q作Q于点，则=e，|QF|=|Q|从而有|QF|+|PQ|=（|PQ|+2|QF|）=（|PQ|+|Q|）对于|PQ|+|Q|，只有P、Q、三点共线时才能取得最小值，且最小值为|8—（—1）|=9。此时，点Q的纵坐标为—3，代入椭圆方程得x=2,显然只有当Q运动（2，—3）处时|QF|=|PQ|取得最小值为9。点评：类似地，圆锥曲线上求一点Q，使|QF|+|PQ|的值小值（P在曲线含焦点的区域内，F为曲线的焦点），都可以用类似的方法转化为三点共线时折线段最短。本例是一道关于长度最值的问题，通过观形、转化、回规定义结合几何知识在解决本是中起到重要作用。相关练习：（1）若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则|PQ|的最小值是多少？（答案：）（2）椭圆的两个焦点（—3，0），（3，0），P是椭圆上的动点，当=，的面积最大，求m、n的值（答案：m=,n=）例2已知椭圆C：（a>b>0），长轴两端点为A、B，如果C上存在一点Q，使AQB=1200，求椭圆的离心e的取值范围。分析：要求e的范围，要考虑获得e的目标函数式，再由其中的变量范围利用性质求出e的范围。简解：不妨设Q在x在轴上方，坐标为（,），则tanAQB==,整理得，又由得而0<，化简得3e4+4e2，所以点评：本道题根据条件，获得关于离心率e的量a,b,c的关系式，再转化为离心率e的不等式，得到e的范围。相关练习：已知椭圆的焦点为F1,F2，在直线：x+y—6=0上找一点M，求以F1,F2为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程。（答案：）通过以上二例可以看出，最值问题常见的解法有两种：代入法和几何法。若题目的条件和结论具有明显的几何特征及意义，则可考虑采用数形结合法，从几何特征下手来处理，这就是几何法。若题目的条件和结论具有明显的函数关系，则可先列出目标函数，再根据其结构特点求最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及单调性法等这些都是代数法。