第2课时简单的线性规划问题线性规划问题的有关概念:1.线性约束条件:不等式组是一组对变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的.2.目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式是,目标函数又是x、y的解析式.3.线性规划问题:求线性目标函数在条件下的的问题.一次不等式线性目标函数一次线性约束最大值或最小值4.可行解:满足线性约束条件的解(x、y)由所有可行解组成的集合叫做.5.最优解:使目标函数取得时的可行解.6.通常最优解在可行域的取得.可行域最大值或最小值边界处或顶点处1.目标函数z=4x+y,将其看成直线方程时,z的几何意义是()A.该直线的截距B.该直线的纵截距C.该直线的横截距D.该直线的纵截距的相反数解析:把z=4x+y变形为y=-4x+z,则此方程为直线方程的斜截式,所以z为该直线的纵截距.答案:B2.若则目标函数z=x+2y的取值范围是()A.[2,6]B.[2,5]C.[3,6]D.[3,5]解析:本题考查线性规划问题的图象解法.只需画出约束条件对应的可行域,平移直线x+2y=0使之经过可行域,观察图形,找出动直线纵截距最大时和最小时经过的点,然后计算可得答案.答案:A3.在△ABC中,三顶点坐标为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,则z=x-y的最大,最小值分别是()A.3,1B.-1,-3C.1,-3D.3,-1解析:本题运用线性规划问题的图象解法.只需画出约束条件对应的可行域,即一个封闭的三角形区域(含边界),再平移直线x-y=0使之经过可行域,观察图形,找出动直线纵截距最大时和最小时经过的点,然后计算可得答案.答案:C4.求z=13x+2y的最大值,使式子中的x、y满足y≤x,x+y≤1,y≥1.该问题中的不等式组叫做________,z=13x+2y叫做________.解析:本题运用线性规划问题中的有关概念,即变量x,y的一次不等式组称为问题的线性约束条件,研究最值的函数解析式称为线性目标函数.答案:线性约束条件线性目标函数5.已知1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3,求2x-3y的取值范围.解:画出二元一次不等式组1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3所表示的平面区域(如图阴影部分所示),即可行域.画出直线2x-3y=0,并平移使之经过可行域,观察图形可知,当直线经过点A时,直线的纵截距最大,此时z最小.解方程组x-y=-1,x+y=5,得A(2,3),所以zmin=2×2-3×3=-5.当直线经过点B时,直线的纵截距最小,此时z最大.解方程组x-y=3,x+y=1,得B(2,-1),所以zmax=2×2-3×(-1)=7.所以2x-3y的取值范围是[-5,7][例1]设x,y满足约束条件x≥-3,y≥-4,-4x+3y≤12,4x+3y≤36.(1)求目标函数z=2x+3y的最小值与最大值;(2)求目标函数z=3x-y的最小值与最大值;[分析]求目标函数最大值或最小值的步骤:作可行域、画平行线、解方程组、求最值.[解]作出可行域如图(1)z=2x+3y变形为y=-23x+z3,得到斜率为-23,在y轴上的截距为z3,随z变化的一族平行直线.由图可知,当直线经过可行域上的点D时,截距z3最大,即z最大.解方程组-4x+3y=12,4x+3y=36.得D点坐标为(3,8)∴zmax=2x+3y=30当直线经过可行域上的点B时,截距z3最小,即z最小.由已知得B(-3,-4)∴zmin=2x+3y=2×(-3)+3×(-4)=-18.(2)同理可求zmax=40,zmin=-9.[点评](1)中z并不是直线2x+3y=z在y轴的截距,而是截距的3倍,因此,直线过点B时,最小,z最小.(2)中z并不是直线3x-y=z在y轴的截距,而是截距的相反数,过A(-3,0)截距最大而z值最小,注意不要搞反.迁移变式1设x,y满足则z=x+y()A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最大值,也无最小值解析:如图3所示.作出可行域,作直线l0:x+y=0,平移l0,当l0过点A(2,0)时,z有最小值2,无最大值.答案:B[例2]设x,y满足条件x-y+5≥0,x+y≥0,x≤3.(1)求u=x2+y2的最大值与最小值;(2)求v=yx-5的最大值与最小值.[分析]把所求问题赋给相关的几何意义,即圆与斜率.[解]画出满足条件的可行域如图4所示,(1)x2+y2=u表示一组同心圆(圆...