专题四 数列、推理与证明 §1 等差数列、等比数列 真题热身 1.(2011·大纲全国)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1, 公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k 等于 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 解析 Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+ (2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,∴k=5. D2.(2011·天津)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的 值为 ( ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 解析 a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1 +8d=a1-16,又 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,∴(a1-12)2 =(a1-4)·(a1-16),解得 a1=20. ∴S10=10×20+12×10×9×(-2)=110. D3.(2011·四川)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1= 3Sn(n≥1),则 a6 等于 ( ) A.3×44 B.3×44+1 C.45 D.45+1 解析 当 n≥1 时,an+1=3Sn,则 an+2=3Sn+1, ∴an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即 an+2=4an+1, ∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列. 又 a2=3S1=3a1=3,∴an= 1(n=1),3×4n-2(n≥2). ∴当 n=6 时,a6=3×46-2=3×44. A4.(2011·广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k=________. 解析 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9-S4=0, 即 a5+a6+a7+a8+a9=0,5a7=0,故 a7=0.而 ak+a4=0, 故 k=10. 10考点整合 1.等差数列 (1)定义式:an+1-an=d(n∈N*,d 为常数). (2)通项公式:an=a1+(n-1)d. (3)前 n 项和公式:Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)d2. (4)等差中项公式:2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2). (5)性质:①an=am+(n-m)d(n,m∈N*). ②若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*). ③等差数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等差数列. 注意:为了方便,有时等差数列的通项公式也可写成 an=pn+q 的形式,前 n 项和的公式可写成 Sn=An2+Bn 的形式(p,q,A,B 为常数). 2.等比数列 (1)定义式:an+1an =q(n∈N*,q 为非零常数). (2)通项公式:an=a1qn-1. (3)前 n 项和公式:Sn= na1 (q=1),a1(1-qn)1-q (q≠1). (4)等比中项公式:a2n=an-1an+1(n∈N*...