专题四 数列、推理与证明 §1 等差数列、等比数列 真题热身 1．(2011·大纲全国)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1， 公差 d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则 k 等于 ( ) A．8 B．7 C．6 D．5 解析 Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋ (2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5. D2．(2011·天津)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an}的前 n 项和，n∈N*，则 S10 的 值为 ( ) A．－110 B．－90 C．90 D．110 解析 a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1 ＋8d＝a1－16，又 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，∴(a1－12)2 ＝(a1－4)·(a1－16)，解得 a1＝20. ∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110. D3．(2011·四川)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1＝ 3Sn(n≥1)，则 a6 等于 ( ) A．3×44 B．3×44＋1 C．45 D．45＋1 解析 当 n≥1 时，an＋1＝3Sn，则 an＋2＝3Sn＋1， ∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即 an＋2＝4an＋1， ∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列． 又 a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝ 1(n＝1)，3×4n－2(n≥2). ∴当 n＝6 时，a6＝3×46－2＝3×44. A4．(2011·广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和．若 a1＝1，ak＋a4＝0，则 k＝________. 解析 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S9－S4＝0， 即 a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0,5a7＝0，故 a7＝0.而 ak＋a4＝0， 故 k＝10. 10考点整合 1．等差数列 (1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d 为常数)． (2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (3)前 n 项和公式：Sn＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)d2. (4)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)． (5)性质：①an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． ②若 m＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． ③等差数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等差数列． 注意：为了方便，有时等差数列的通项公式也可写成 an＝pn＋q 的形式，前 n 项和的公式可写成 Sn＝An2＋Bn 的形式(p，q，A，B 为常数)． 2．等比数列 (1)定义式：an＋1an ＝q(n∈N*，q 为非零常数)． (2)通项公式：an＝a1qn－1. (3)前 n 项和公式：Sn＝ na1 (q＝1)，a1(1－qn)1－q (q≠1). (4)等比中项公式：a2n＝an－1an＋1(n∈N*...
