第六节 正弦定理和余弦定理[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式＝＝＝2R.(R 为△ABC 外接圆半径)a2＝b 2 ＋ c 2 － 2 bc ·cos _A；b2＝c 2 ＋ a 2 － 2 ca ·cos _B；c2＝a 2 ＋ b 2 － 2 ab ·cos _C公式变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝cos A＝；cos B＝；cos C＝2.在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin A＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边 a 上的高)；(2)S＝absin C＝ac sin B＝bc sin A ；(3)S＝r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．[常用结论]1．三角形内角和定理在△ABC 中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(2)sin＝cos ；(4)cos＝sin .3．在△ABC 中，sin A＞sin B⇔A＞B⇔a＞b，cosA＞cos B⇔A＜B⇔a＜b.4．三角形射影定理a＝bcos c＋ccos Bb＝acos C＋ccos Ac＝acos B＋bcos A5．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，若 A＞B，则必有 sin A＞sin B．( )(2)在△ABC 中，若 b2＋c2＞a2，则△ABC 为锐角三角形．( )(3)在△ABC 中，若 A＝60°，a＝4，b＝4，则 B＝45°或 135°.( )(4)在△ABC 中，＝.( )[解析] (1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.(2)错误．由 cos A＝＞0 知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由 b＜a 知，B＜A.(4)正确．利用 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC 的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定C [由正弦定理，得＝sin A，＝sin B，＝sin C，代入得到 a2＋b2＜c2，由余弦定理得cos C＝＜0，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a＝，c＝2，cos A＝，则 b＝( )A. B. C．2 D．3D [由余弦定理得 5＝b...
