3.1 数乘向量学 习 目 标核 心 素 养1.理解向量的数乘运算及其几何意义．(重点)2.理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．(难点)3.会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行．(易混点)1.通过学习数乘运算及其几何意义，体会数学抽象素养．2.通过运用向量共线定理解决相关问题，培养数学运算素养.1．数乘向量及运算律(1)向量数乘的定义一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa.它的长度和方向规定如下：①|λa|＝| λ || a | ；② 当 λ>0 时，λa 与 a 的方向相同；当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0.(2)向量数乘的运算律设 a，b 为向量，λ，μ 为实数，则数乘向量满足：① 结合律：λ(μa)＝( λμ ) a ；② 分配律：(λ＋μ)a＝λ a ＋ μ a ；λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b .思考 1：向量 3a，－3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？[提示] 3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相同．－3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反．2．共线向量定理(1)判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得 b＝λa，则向量 b 与非零向量 a 共线．(2)性质定理若向量 b 与非零向量 a 共线，则存在一个实数 λ，使得 b＝λ a .思考 2：若 b＝2a，b 与 a 共线吗？[提示] 根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与 a 共线．如果有一个实数 λ，使 b＝λa(a≠0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a(a≠0)共线向量，那么有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa.1．在四边形 ABCD 中，若AB＝－CD，则此四边形是( )A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形C [因为AB＝－CD，所以 AB∥CD，且 AB＝CD，所以四边形 ABCD 为梯形．]2．下列各式计算正确的有( )①(－7)6a＝－42a；② 7(a＋b)－8b＝7a＋15b；③a－2b＋a＋2b＝2a；④ 4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1 个 B．2 个C．3 个D．4 个C [①③④ 正确．]3．已知向量 a 与 b 不共线，向量 c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量 c 与 d 的关系是________．(填“共线”或“不共线”)共线 [d＝6a－2b＝2(3a－b)＝2c，所以向量 c 与 d 共线．]4.＝________.2b－a [＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝2b－a.]向量数乘的定义【例 1】 已知 a、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a 的...
