高中数学 第4章 函数应用章末综合提升学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学案

第 4 章 函数应用[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]函数的零点与方程的根由于函数的零点、方程的根、函数的图像与 x 轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以函数问题可转化为方程的问题，方程的问题可转化为函数问题解决，根据函数的性质和方程根的存在条件我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图像，从中体会数形结合的作用．【例 1】 已知函数 f(x)＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图像判断 f(x)有几个零点，并利用判断区间内是否有零点的方法确定各零点所在的范围(各区间长度不超过 1)．[思路探究] 函数 f(x)＝x－1＋x2－2 的图像不易作出，而将方程 x－1＋x2－2＝0 变形为x－1＝－x2＋2 后，函数 y＝x－1与 y＝－x2＋2 的图像较容易作出，它们交点的横坐标就是方程x－1＋x2－2＝0 的实数解，即函数 f(x)＝x－1＋x2－2 的零点．[解] 由 f(x)＝0，得 x－1＝－x2＋2.令 y1＝x－1，y2＝－x2＋2，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示．由图可知，它们有 3 个交点，因此，函数 f(x)＝x－1＋x2－2 有 3个零点．由 f(x)知 x≠0，f(x)图像在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是连续曲线． f(－3)＝(－3)－1＋×(－3)2－2＝>0，f(－2)＝(－2)－1＋×(－2)2－2＝－<0，f＝＋×－2＝>0，f(1)＝1－1＋×12－2＝－<0，f(2)＝2－1＋×22－2＝>0，即 f(－3)·f(－2)<0，f·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，∴函数 f(x)＝x－1＋x2－2 的 3 个零点分别在区间(－3，－2)，，(1,2)内.函数建模建模思想就是建立数学模型解决实际应用问题．函数是重要的数学模型，不同的函数模型能够刻画现实世界中不同的变化规律，因此，不同的问题需选择适当的函数模型来描述．在初中学过的一次函数、二次函数以及现在学习的指数函数、对数函数和幂函数都是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数类型．对于函数模型的应用，一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立适当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，因此，应切实掌握建立函数模型，解决实际问题的基本过程．纵观近几年高考，实际应用题层出不穷，并且向跨学科知识渗透，像有关环境问题、经济问题已成为热点，还有经典的成本最低问题、效率最大问题等也都是极为重要的考点．1．一次函数模型的应用一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．【例 2】 ...