高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题5 数列、推理与证明 第22练 常考的递推公式问题的破解方略 文-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

第22练常考的递推公式问题的破解方略[题型分析·高考展望]利用递推关系式求数列的通项公式及前n项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键．一般这类题目难度较大，但只要“”将已知条件转化为几类模型，然后采用相应的计算方法即可解决．体验高考1．(2015·湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.答案3n－1解析由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，∴公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.2．(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.答案－解析由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.3．(2015·江苏)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．答案解析 a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3…，，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3…＋＋n＝，即an＝.令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2…＋＋b10＝2＝.4．(2016·课标全国丙)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.(1)证明由题意，得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝n－1.(2)解由(1)得Sn＝1－n.由S5＝，得1－5＝，即5＝.解得λ＝－1.高考必会题型题型一利用累加法解决递推问题例1(1)在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝，则an等于()A．2－B．1－C.D．2－答案A解析 an－an－1＝，∴a2－a1＝，a3－a2＝，a4－a3…＝，，an－an－1＝(n>1)，以上各式左右两边分别相加得an－a1…＝＋＋＋＋＝1…－＋－＋＋－＝1－，∴an＝a1＋1－＝2－，又a1＝1适合上式，∴an＝2－，故选A.(2)在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列．①求c的值；②求数列{an}的通项公式．解①由题意知，a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c， a1，a2，a3成等比数列，∴(2＋c)2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.②当n≥2时，由an＋1＝an＋cn，得a2－a1＝c，a3－a2＝2c…，，an－an－1＝(n－1)c，以上各式相加，得an－a1＝[1＋2…＋＋(n－1)]c＝c.又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)，当n＝1时，上式也成立，∴数列{an}的通项公式为an＝n2－n＋2(n∈N*)．点评由已知递推关系式，若能转化为an＋1＝an＋f(n)，或－＝f(n)且f(n)的和可求，则可采用累加法．变式训练1在数列{an}中，a1＝1，an＋1－an＝ln(1＋)，则an等于()A．1＋n＋lnnB．1＋nlnnC．1＋(n－1)lnnD．1＋lnn答案D解析 a1＝1，an＋1－an＝ln(1＋)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)…＋＋(a2－a1)＋a1＝ln(1＋)＋ln(1＋)…＋＋ln(1＋1)＋1＝ln(××…×2)＋1＝1＋lnn.题型二利用累乘法解决递推问题例2(1)已知a1＝1，＝，则an＝________.(2)已知数列{an}中，a1＝1，＝n(n∈N*)，则a2016＝________.答案(1)(2)2016解析(1) ＝，∴×××…×＝×××××…××＝.即＝，又 a1＝1，∴an＝，而a1＝1也适合上式，∴{an}的通项公式为an＝.(2)由＝n(n∈N*)，得＝，＝，＝，…＝，，＝，各式相乘得＝n，∴an＝n(n＝1适合)，∴a2016＝2016.点评若由已知递推关系能转化成＝f(n)的形式，且f(n)的前n项积能求，则可采用累乘法．注意验证首项是否符合通项公式．变式训练2数列{an}的前n项和Sn＝an(n≥2)，且a1＝1，a2＝2，则{an}的通项公式an＝______________.答案解析 Sn－1＝an－1(n≥3)，∴Sn－Sn－1＝an－an－1，∴an＝an－an－1，∴＝.∴当n≥3时，··…·＝2···…·，∴＝n－1，∴an＝(n－1)·a2＝2(n－1)(n≥3)． a2＝2满足an＝2(n－1)，∴an＝题型三构造法求通项公式例3(1)已知数列{an}，a1＝2，an＝(n≥2)，则an＝________.(2)已知a1＝1，an...