高中数学 第1章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理学案（含解析）新人教A版选择性必修第一册-新人教A版高中第一册数学学案

1.2 空间向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养.2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.(1)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得 p＝xa＋yb.(2)共面向量定理的推论：空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使得MP＝xMA＋yMB，或对于空间任意一定点 O，有OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)．今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．1．空间向量基本定理如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p＝x a ＋ y b ＋ z c .其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c 都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z)是否唯一？[提示] (1)不能．因为 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面．(2)唯一确定．2．正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是 1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{OA，OB，OC}不能构成空间的一个基底，则 O，A，B，C 四点共面．( )(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则 a，b，c 全不是零向量．( )(3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．( )[提示] (1)√ (2)√ (3)×2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量 p＝a＋b，q＝a－b 构成基底的向量是( )A．a B．bC．a＋2b D．a＋2c[答案] D3．在长方体 ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )A．AB，AC，AD B．AB，AA1，AB1C．D1A1，D1C1，D1DD．AC1，A1C，CC1C [由题意知，D1A1，D1C1，D1D不共面，可以作为空间向量的一个基底．]4．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若 m 与 n 共线，则...