1.1.2 空间向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1．理解空间向量基本定理．(重点)2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题．(难点)3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．(重点)1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养．2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养．图中的向量AB，AD，AA′是不共面的三个向量，请问向量AC′与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？1．共面向量定理如果两个向量 a，b 不共线，则向量 a，b，c 共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使 c ＝ x a ＋ y b ．思考 1：平面向量基本定理中对于向量 a 与 b 有什么条件，在空间中能成立吗？[提示] 平面向量基本定理中要求向量 a 与 b 不共线，在空间中仍然成立．2．空间向量基本定理如果空间中的三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 p＝x a ＋ y b ＋ z c ．特别地，当 a，b，c 不共面时，可知 xa＋yb＋zc＝0 时，x＝y＝z＝0．3．相关概念(1)线性组合：表达式 xa＋yb＋zc 一般称为向量 a，b，c 的线性组合或线性表达式．(2)基底：空间中不共面的三个向量 a，b，c 组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．(3)基向量：基底{a，b，c}中 a，b，c 都称为基向量．(4)分解式：如果 p＝xa＋yb＋zc，则称 xa＋yb＋zc 为 p 在基底{a，b，c}下的分解式．思考 2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？[提示] 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．思考 3：基向量和基底一样吗？0 能否作为基向量？[提示] 基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为 0 与其他任意两个非零向量共面，所以 0 不能作为基向量．4．拓展：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使OP＝xOA＋yOB＋zOC，当且仅当 x＋y＋z＝1 时，P，A，B，C 四点共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．( )(2)若三个非零向量 a，b，c 不能构成空间的一个基底，则 a，b，c 共面．( )(3) 若 a ， b 是 两 个 不 共 线 的 向 量 ， 且...
