第28练椭圆问题中最值得关注的基本题型[题型分析·高考展望]椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多．分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握．对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解．体验高考1．(2015·广东)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m等于()A．2B．3C．4D．9答案B解析由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.2．(2015·福建)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形． |AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)≥，则，∴1≤b＜2.离心率e＝＝＝＝∈，故选A.3．(2016·课标全国丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为椭圆C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.答案A解析设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.4．(2015·浙江)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①将线段AB中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－，②由①②得m＜－或m＞.(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·，且O到直线AB的距离为d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d≤＝.当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.5．(2016·北京)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．(1)解由已知＝，ab＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，令x＝0得yM＝.从而|BM|＝|1－yM|＝.直线PB方程为y＝x＋1，令y＝0得xN＝.∴|AN|＝|2－xN|＝.∴|AN|·|BM|＝·＝·＝＝＝4.当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，∴|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值．高考必会题型题型一利用椭圆的几何性质解题例1如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求PF·PA的最大值和最小值．解设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2， e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.所求椭圆方程为＋＝1.∴－2≤x0≤2≤，－y0≤.又F(－1,0)，A(2,0)，PF＝(－1－x0，－y0)，PA＝(2－x0，－y0)，∴PF·PA＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.当x0＝2时，PF·PA取得最小值0，当x0＝－2时，PF·PA取得最大值4.点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程．变式训练1如图，F1、F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)若△AF1B的面积为40，求椭圆C的方程．解(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝.(2)方法一a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程可为y＝－(x－c)，将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B(c，－c)，所以|AB|＝·|c－0|＝c，由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝a·a·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1.方法二设|AB|＝t，因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝a，由S△AF1B＝|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝a·a·＝a2＝40知，a＝10，b＝5，所以椭圆C的方程...
