第30练与抛物线有关的热点问题[题型分析·高考展望]抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点．考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上．体验高考1．(2015·四川)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，当直线l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，如图x1≠x2，则有·＝2，即y0·k＝2，由CM⊥AB得，k·＝－1，y0·k＝5－x0,2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x＝3上，将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，∴－2＜y0＜2， 点M在圆上，∴(x0－5)2＋y＝r2，r2＝y＋4＜12＋4＝16，又y＋4＞4，∴4＜r2＜16，∴2＜r＜4.故选D.2．(2015·浙江)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.B.C.D.答案A解析由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1. 点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴＝＝.3．(2016·四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D．1答案C解析如图，由题意可知F，设P点坐标为，显然，当y0<0时，kOM<0；y0>0时，kOM>0，要求kOM的最大值，不妨设y0>0.则OM＝OF＋FM＝OF＋FP＝OF＋(OP－OF)＝OP＋OF＝，kOM≤＝＝＝，当且仅当y＝2p2时等号成立．故选C.4．(2016·课标全国乙)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8答案B解析不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，又可设A(x0,2)，D，点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②点D在圆x2＋y2＝r2上，∴2＋5＝r2，③联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.5．(2015·上海)抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.答案2解析根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ|min＝＝1⇒p＝2.高考必会题型题型一抛物线的定义及其应用例1已知P为抛物线y2＝6x上一点，点P到直线l：3x－4y＋26＝0的距离为d1.(1)求d1的最小值，并求此时点P的坐标；(2)若点P到抛物线的准线的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解(1)设P(，y0)，则d1＝＝|(y0－4)2＋36|，当y0＝4时，(d1)min＝，此时x0＝＝，∴当P点坐标为(，4)时，(d1)min＝.(2)设抛物线的焦点为F，则F(，0)，且d2＝|PF|，∴d1＋d2＝d1＋|PF|，它的最小值为点F到直线l的距离＝，∴(d1＋d2)min＝.点评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义“在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．看到准线想焦点，看到焦点想”准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．变式训练1(1)(2016·浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是________．(2)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A．(，1)B．(，－1)C．(1,2)D．(1，－2)答案(1)9(2)B解析(1)抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)．准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.(2)抛物线y2＝4x焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，作PQ垂直于准线，垂足为M...
