第44练关于计算过程的再优化[题型分析·高考展望]中学数学的运算包括数的计算，式的恒等变形，方程和不等式同解变形，初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算，求数列和函数、定积分、概率、统计的初步计算等．《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本，运算求解能力指的是要求学生会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算．运算求解能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．数学运算，都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的，尤其是概念，它是思维的形式，只有概念明确、理解透彻，才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理．计算法则是计算方法的程序化和规则化，对法则的理解是计算技能形成的前提．高考命题对运算求解能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查．因此在高中数学中，对于运算求解能力的培养至关重要．提高数学解题能力，首先是提高数学的运算求解能力，可以从以下几个方面入手：1．培养良好的审题习惯．2．培养认真计算的习惯．3．培养一些常用结论的记忆的能力，记住一些常用的结论，比如数列求和的公式12＋22＋32…＋＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，三角函数中的辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋θ)等等．4．加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径，任何能力都是有计划、有目的地训练出来的，提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练．5．提高运算基本技能，必须要提高学生在运算中的推理能力，这就首先要清楚运算的定理及相关理论．6．增强自信是解题的关键，自信才能自强，在数学解题中，自信心是相当重要的．高考必会题型题型一化繁为简，优化计算过程例1过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()A.B．－C．±D．－答案B解析由y＝得，x2＋y2＝1(y≥0)，设直线方程为x＝my＋，m<0(m≥0不合题意)，代入x2＋y2＝1(y≥0)，整理得，(1＋m2)y2＋2my＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，则△AOB的面积为×|y1－y2|＝|y1－y2|，因为|y1－y2|＝＝＝＝≤＝＝，当且仅当＝，即m2－1＝2，m＝－时取等号．此时直线方程为x＝－y＋，即y＝－x＋，所以直线的斜率为－.点评本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式，先设出直线方程x＝my＋，表示出△AOB的面积，然后探讨面积最大时m的取值，得到直线的斜率．题型二运用概念、性质等优化计算过程例2已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.答案解析如图，设|BF|＝m，由题意知，m2＋100－2×10mcos∠ABF＝36，解得m＝8，所以△ABF为直角三角形，所以|OF|＝5，即c＝5，由椭圆的对称性知|AF′|＝|BF|＝8(F′为右焦点)，所以a＝7，所以离心率e＝.点评熟练掌握有关的概念和性质是快速准确解决此类题目的关键．“”题型三代数运算中加强形的应用，优化计算过程例3设b>0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n，an≤＋1.(1)解由a1＝b>0，知an＝>0，＝＋·.令An＝，A1＝，当n≥2时，An＝＋An－1…＝＋＋＋＋A1…＝＋＋＋＋.①当b≠2时，An＝＝；②当b＝2时，An＝.综上，an＝(2)证明当b≠2时，(2n＋1＋bn＋1)＝(2n＋1＋bn＋1)(bn－1＋2bn－2…＋＋2n－1)＝2n＋1bn－1＋2n＋2bn－2…＋＋22n＋b2n＋2b2n－1…＋＋2n－1bn＋1＝2nbn(……＋＋＋＋＋＋＋)>2nbn(2＋2…＋＋2)，＝2n·2nbn＝n·2n＋1bn，∴an＝<＋1.当b＝2时，an＝2＝＋1.综上所述，对于一切正整数n，an≤＋1.点评结合题目中an的表达式可知，需要构造an新的形式＝＋·，得到新的数列，根据新数列的形式求和；不等式的证明借用放缩完成．高考题型精练1．已知函数f(x)＝的定义域是一切实数，则m的取值范围是()A．0
