_直角三角形的射影定理_12VIP免费

直角三角形的射影定理1.射影：（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN上的影子应是什么？（2）线段留在MN上的影子是什么？A’定义：过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线，垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在直线l上的正射影，简称射影。ABA’B’lAMN.BB’直角三角形中的成比例线段各种线段在直线上的射影的情况：ABA’B’lAA’B’BllAA’BB’如图,CD是的斜边AB的高线ABCRt这里:AC、BC为直角边，AB为斜边，CD是斜边上的高AD是直角边AC在斜边AB上的射影,BD是直角边BC在斜边AB上的射影。CADB直角三角形中的成比例线段直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.这就是射影定理直角三角形中的成比例线段(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝，AC2＝，BC2＝.AD·BDAD·ABBD·AB证明方法CADB具体题目运用：ACBCCDAB根据应用选取相应的乘积式。直角三角形中的成比例线段ABADAC2ABBDBC2DBADCD2利用射影定理证明勾股定理:222ABABBDABADBCAC射影定理只能用在直角三角形中,且必须有斜边上的高CADB这里犯迷糊，可不行！[例1]如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2cm，DB＝6cm，求CD，AC，BC的长．[思路点拨]在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．[解]∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD、AC、BC的长分别为23cm,4cm,43cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高．已知BD＝4，AB＝29，试求出图中其他未知线段的长．解：由射影定理，得BC2＝BD·AB，∴BC＝BD·AB＝4×29＝229.又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25.且AC2＝AB2－BC2，∴AC＝AB2－BC2＝292－4×29＝529.∵CD2＝AD·BD，∴CD＝AD·BD＝25×4＝10.2．已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD的值；(2)若AB＝25cm，求CD的长．解：(1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AD·ABBD·AB＝AC2BC2.∴ADBD＝(ACBC)2＝(34)2＝916.(2)∵AB＝25cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).[例2]如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.[思路点拨]先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．[证明]∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．•如图中共有6条线段，已知任意2条，求其余线段。•运用射影定理时，注意前提条件直角三角形中的成比例线段CADB•求边注意联系方程与勾股定理3．Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，E、F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A作AH⊥BC于H.则DE∥AH∥GF.∴DEAH＝BEBH，GFAH＝FCCH.∴DE·GFAH2＝BE·FCBH·CH.又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC.而DE＝GF＝EF，∴EF2＝BE·FC.4．如图所示，设CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．求证：CA·CD＝BC·AD.证明：由射影定理知：CD2＝AD·BD，CA2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.∴CA·CD＝AD2·BD·AB＝AD·BD·AB，BC·AD＝AD·AB·BD.即CA·CD＝BC·AD.