9.2正弦定理与余弦定理的应用课后篇巩固提升1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在河岸边选定一点C,测出AC的距离为50❑√2m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算A,B两点的距离为()A.100mB.50❑√3mC.100❑√2mD.200m解析△ABC中,AC=50❑√2m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,即∠ABC=30°,由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin∠ABC,所以ABsin45°=50❑√2sin30°,解得AB=100.故选A.答案A2.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45°,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为θ,则cosθ=()A.2❑√3+1B.2❑√3-1C.❑√3-1D.❑√3+1解析在△ABC中,由正弦定理得BC=ABsin∠BACsin∠ACB=100sin15°sin(45°-15°)=50(❑√6−❑√2),在△BCD中,sin∠BDC=BCsin∠CBDCD=50(❑√6-❑√2)50×❑√22=❑√3-1,又因为cosθ=sin∠BDC,所以cosθ=❑√3-1.故选C.答案C3.某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点,已知△ACD为等边三角形,且DC=❑√3km,当目标出现在B点(A,B两点位于CD两侧)时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约为()A.1.1kmB.2.2kmC.2.9kmD.3.5km解析如图所示:∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=60°,在△BCD中,由正弦定理,得❑√3❑√32=BDsin75°,故BD=2sin75°.在△ABD中,∠ADB=45°+60°=105°,由余弦定理,得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105°,所以AB=❑√5+2❑√3≈2.9(km).故炮兵阵地与目标的距离为2.9km.故选C.答案C4.如图,为了测量某湿地A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.现测得DC=2❑√3千米,CE=❑√2千米,则A,B两点间的距离为()A.❑√6千米B.2❑√2千米C.3千米D.2❑√3千米解析在△ACD中,∠ADC=67.5°,∠ACD=45°⇒∠DAC=67.5°⇒AC=DC=2❑√3;在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°⇒∠CBE=45°,利用正弦定理得到:CEsin∠CBE=BCsin∠BEC⇒BC=❑√3,在△ABC中,∠ACB=60°,利用余弦定理得到AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB⇒AB=3.故选C.答案C5.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60m,则河流的宽度是()A.240(❑√3-1)mB.180(❑√2-1)mC.30(❑√3+1)mD.120(❑√3-1)m解析由题意可知:∠ABC=105°,∠BAC=45°,∴AC=60sinC=60sin30°=120.由正弦定理BCsin∠BAC=ACsin∠ABC,得BC=ACsin∠BACsin∠ABC=120sin45°sin105°=60❑√2sin60°cos45°+cos60°sin45°=120(❑√3-1),即河流的宽度为120(❑√3-1)m.故选D.答案D6.如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β=60°,α=30°,若山坡高为a=35,则灯塔高度是()A.15B.25C.40D.60解析过点B作BE⊥DC于点E,过点A作AF⊥DC于点F,如图所示,在△ABD中,由正弦定理得,ABsin∠ADB=ADsin∠ABD,即hsin[90°-α-(90°-β)]=ADsin(90°+α),∴AD=hcosαsin(β-α),在Rt△ADF中,DF=ADsinβ=hcosαsinβsin(β-α),又山高为a,则灯塔CD的高度是CD=DF-EF=hcosαsinβsin(β-α)-a=40×❑√32×❑√3212-35=60-35=25.故选B.答案B7.某船在A处看到灯塔S在北偏西40°方向,它向正北方向航行50海里到达B处,看到灯塔S在北偏西76°方向,则此时船到灯塔S的距离为海里.解析由条件可得,∠BSA+∠BAS=76°,所以∠BSA=76°-40°=36°.在△SAB中,由正弦定理,得BSsin∠BAS=ABsin∠BSA,所以BS=ABsin∠BASsin∠BSA=50sin40°sin36°≈54.7.答案54.78.在2012年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式,如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B的距离为10❑√6米,则(1)AN=米;(2)旗杆的高度为米.解析依题意可知∠NBA=45°,∠BAN=180°-60°-15°=105°,所以∠BNA=180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知ABsin∠BNA=NAsin∠NBA,所以AN=ABsin∠BNA·sin∠NBA=20❑√3米.所以在Rt△AMN中,MN=ANsin∠NAM=20❑√3×❑√32=30米,所以旗杆的高度为30米.答案20❑√3309.某人向正...
