课时作业6向量的数量积(2)知识点一夹角问题1.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为()A．30°B．45°C．135°D．150°答案A解析 (2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.又 θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C解析设θ为a与b的夹角， (2a＋b)·b＝0，∴2a·b＋b2＝0，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.又 |a|＝|b|≠0，∴cosθ＝－， θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.3．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．答案解析设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由(a＋2b)·(a－b)＝－2，得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，解得cosθ＝，所以θ＝.知识点二模及长度问题4.已知a·b＝－12，|a|＝4，a与b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．3答案C解析a·b＝|a||b|cos135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.5．已知平面向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝()A．1B.C．4＋D．2答案B解析根据题意，得|a＋2b|＝＝.故选B.6．已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A．15B.C．14D．16答案A解析以a，b为邻边的平行四边形的对角线有两条，分别为a＋b，a－b，从而|a＋b|＝|6p－q|＝＝＝＝15.|a－b|＝|4p＋5q|＝＝＝.故选A.7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|.解由已知得a·b＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2.(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a－4b|＝4.8．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解假设存在满足条件的θ. |a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)．∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0.∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴解得cosθ∈.又 θ∈[0，π]，∴θ∈.故当θ∈时，|a＋b|＝|a－b|成立.知识点三垂直问题9.若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝()A．－6B．6C．3D．－3答案B解析由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.10．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.(1)当m为何值时，c与d垂直？(2)当m为何值时，c与d共线？解(1)由向量c与d垂直，得c·d＝0，而c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝，即当m＝时，c与d垂直．(2)由c与d共线得，存在实数λ，使得c＝λd，∴3a＋5b＝λ(ma－3b)，即3a＋5b＝λma－3λb，又 a与b不共线，∴解得即当m＝－时，c与d共线．一、选择题1．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C解析由c⊥a，得a·c＝0，又c＝a＋b，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°，即向量a与b的夹角为120°.故选C.2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于()A．－B.C．－D.答案C解析由题意可知，|AP|＝＝，|PM|＝＝.根据向量的加法，知PB＋PC＝2PM，则PA·(PB＋PC)＝2|PA|·|PM|cos180°＝2×××(－1)＝－.3．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为()A．1B.C.D.答案D解析 |a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，∴a与c的夹角为60°.又|a－c|＝＝＝，故|a－c|min＝.4．点O是△ABC所在平面内一点，且满足OA·OB＝OB·OC＝OA·OC，则点O是△ABC的()A．重心B．垂心C．内心D．外心答案B解析因为OA·OB＝OB·OC，所以OB·(OA－OC)＝0，即OB·CA＝0，则OB⊥CA.同理OA...
