课时35向量在平面几何中的应用知识点一向量在平面几何证明问题中的应用1．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取点F，在其反向延长线上取点E，使BE＝DF，用向量方法证明四边形AECF是平行四边形．证明如题图，由向量加法法则知AE＝AB＋BE，FC＝FD＋DC.又AB＝DC，BE＝FD，所以AE＝FC，即AE綊FC，所以四边形AECF是平行四边形．2．如下图所示，△ABC的顶点A，B，C分别对应向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，其重心为G，对应的向量为g＝(x0，y0)．求证：x0＝，y0＝.证明设AC的中点为D，且点D对应的向量为q＝(x4，y4)，则x4＝，y4＝.由平面几何的知识，得BG＝2GD，∴x0＝＝＝，y0＝＝＝.知识点二向量在平面几何计算问题中的应用3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为()A．B．C．(3,2)D．(1,3)答案A解析设D(x，y)，则BC＝(4,3)，AD＝(x，y－2)，由BC＝2AD得∴∴顶点D的坐标为.4．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．2B．C．3D．答案B解析BC的中点为D，AD＝，∴|AD|＝.5．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AE＝2EC，BE交AD于点G，求及的值．解设＝λ，＝μ. AD为BC边上的中线，∴AD＝(AB＋AC)．又 AG＝λGD＝λ(AD－AG)，∴AG＝AD＝AB＋AC.又 BG＝μGE，即AG－AB＝μ(AE－AG)，∴(1＋μ)AG＝AB＋μAE，AG＝AB＋AE.又 AE＝AC，∴AG＝AB＋AC. AB，AC不共线，∴解得∴＝4，＝.知识点三向量在平面几何中的综合应用6.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案B解析因为|OB－OC|＝|CB|＝|AB－AC|，|OB＋OC－2OA|＝|AB＋AC|，所以|AB－AC|＝|AB＋AC|，则AB·AC＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．故选B．7．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N等于()A．{(1,2)}B．{(1,2)，(－2，－2)}C．{(－2，－2)}D．∅答案C解析令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴解得故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．8．如图所示，在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得BD＝BC＋BE？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．解假设存在点D，使得BD＝BC＋BE.则BD＝BC＋(BC＋CE)＝BC＋CE，BD－BC＝CE，CD＝CE，CD＝×，即CD＝CA.所以存在点D使BD＝BC＋BE，且点D为靠近点C的线段AC的三等分点.易错点不能将平面几何中计算问题转化为向量问题致误9.设O为△ABC内任一点，且满足OA＋3OB＋4OC＝0，且D，E分别是BC，CA的中点，则△ABC与△BOC的面积之比为________．易错分析以上题目的求解中，需要根据向量条件判定几何图形中的平行关系，从而利用面积公式求得比例关系．答案8∶1正解如图，OB＋OC＝2OD，OA＋OC＝2OE，∴OA＋3OB＋4OC＝(OA＋OC)＋3(OB＋OC)＝2(3OD＋OE)＝0，即3OD＋OE＝0，∴DO与OE共线，即点D，E，O共线，∴3|OD|＝|OE|，∴S△BOC＝2S△COD＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，即S△ABC∶S△BOC＝8∶1.一、选择题1．在四边形ABCD中，若AD＝BC，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．梯形C．矩形D．菱形答案B解析由AD＝BC，可知AD∥BC，且|AD|<|BC|，故四边形ABCD是梯形．2．已知△MNS的三个顶点M，N，S及平面内一点Q满足QM＋QN＝QS，则下列结论中正确的是()A．点Q在△MNS的内部B．点Q在△MNS的边MN上C．点Q在MN边所在直线上D．点Q在△MNS的外部答案D解析由QM＋QN＝QS，所以四边形QMSN为平行四边形．如图，可知点Q在△MNS的外部．故选D．3．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB．如果OA＝3e1，OB＝3e2，那么OD等于()A．e1＋2e2B．2e1＋e2C．e1＋e2D．e1＋e2答案A解析如图所示，OD＝OA＋AD＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB＝e1＋2e2，应选A．4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2.若OC＝λOA＋μOB，则λ＋μ的值是()A．B．＋1C．D．＋1答案D解析由题意，知OA＝(...
