【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章1同角三角函数的基本关系课时作业北师大版必修4一、选择题1．若sinθ·cosθ＝，则tanθ＋的值为()A．－2B．2C．±2D．[答案]B[解析]tanθ＋＝＋＝＝＝2.2．若1＋sinθ·＋cosθ·＝0(θ为象限角)，则θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]由1＋sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＝0，知当sinθ<0，cosθ<0时，上式成立．此时θ为第三象限角．3．已知tanx>0且sinx＋cosx>0，那么x位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]A[解析]∵tanx>0，∴>0，∴sinx，cosx同号，又∵sinx＋cosx>0，∴sinx>0，cosx>0，∴x位于第一象限．4．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是()A．B．C．1D．[答案]C[解析]原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)＝sin2β＋cos2β＝1.5．已知<α<π，sinα＝，则tanα的值为()A．B．－C．±D．－[答案]B[解析]∵<α<π，∴cosα<0，∴cosα＝－＝－＝－.∴tanα＝＝－.6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于()A．2B．－2C．2或－2D．0[答案]D[解析]∵α的终边在直线y＝－x上，∴tanα＝－1，∴原式＝＋，(1)当α在第二象限时，原式＝－tanα＋tanα＝0；(2)当α在第四象限时，原式＝tanα－tanα＝0.二、填空题17．(2015·四川文，13)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是__________．[答案]－1[解析]由已知可得tanα＝－2，2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝－1.8．已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ＝________.[答案][解析]∵sinθ－cosθ＝，∴sinθcosθ＝，∴sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ)＝＝.三、解答题9．化简下列各式．(1)；(2)sin2αtanα＋2sinαcosα＋.[解析](1)原式＝＝＝＝1.(2)原式＝sin2α·＋2sinαcosα＋cos2α·＝＝＝.10．已知θ∈(0,2π)且sinθ、cosθ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实数根，求k和θ.[解析]由题意知由①得1＋2sinθcosθ＝k2，把②代入上式得k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1，当k＝3时，sinθ·cosθ＝4不合题意，舍去．当k＝－1时，∴或又θ∈(0,2π)，∴θ＝π或.综上知k＝－1，θ＝π或.一、选择题1．下列各说法中正确的是()A．存在角α，使cosα＝，tanα＝B．不存在角α，使sinα＝cosα＝C．cos＝D．若sinα－cosα＝，则α是锐角[答案]B[解析]B选项中，sin2α＋cos2α＝＋＝>1，故不存在这样的角α.2．已知sin(α＋)＝，α∈(－，0)，则tanα的值为()A．－2B．2C．－D．[答案]A[解析]∵sin(α＋)＝，∴cosα＝.又∵α∈(－，0)，2∴sinα＝－＝－.∴tanα＝＝－2.二、填空题3．化简＝________.[答案][解析]原式＝＝＝.4．若α是锐角，且2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα＝________.[答案][解析]由2tanα＋3sinβ＝7，得4tanα＋6sinβ＝14①，又tanα－6sinβ＝1②，①＋②，得5tanα＝15，∴tanα＝3，又由1＋tan2α＝，有cos2α＝＝＝，∴sin2α＝1－cos2α＝，∵0<α<，∴sinα＝.三、解答题5．已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．[解析]∵tanα＝－2，∴α是第二、四象限角，又tanα＝－2得sinα＝－2cosα.(1)当α为第二象限角时，⇒5cos2α＝1，∴cosα＝－，sinα＝－2×(－)＝.(2)当α为第四象限角时，⇒5cos2α＝1，∴cosα＝，sinα＝－2×＝－.综合(1)(2)知：当α为第二象限角时，cosα＝－，sinα＝，当α为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－.6．已知<α<，cos(α＋)＝m(m≠0)，求tan(－α)的值．[解析]由于(α＋)＋(－α)＝π，所以cos(－α)＝－cos(α＋)＝－m.由于<α<，所以0<－α<.则sin(－α)＝.所以tan(－α)＝－.7．是否存在实数k，使方程8x2－6kx＋2k＋1＝0的两个实数根分别是直角三角形中的两个锐角的正弦值？[解析]设两个锐角为α，β.∵α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα，∴由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，得＝1＋2×，解得k＝2或k＝－.当k＝2时，Δ<0，不符合题意，∴k＝2舍去．由sinα＋cosα>0，得k>0，∴k＝－舍去．因此符合题意的k值不存在．3
