课时作业(十三)平面与平面垂直的判定A组基础巩固1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C.答案：C2．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，点P到三个面的距离分别是3,4,5，则OP的长为()A．5B．5C．3D．2解析： 三个平面两两垂直，∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体，∴OP即为对角线，∴OP＝＝＝5.答案：B3．下列说法中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的有()A．①③B．②④C．③④D．①②解析：对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.答案：B4．已知PA垂直矩形ABCD所在的平面(如图)．图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对解析： DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同样BC⊥平面PAB，又易知AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．答案：D5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有()A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个解析：如果平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则可以作无数个平面与已知平面垂直，如果两点连线与已知平面不垂直，则只能作一个平面与已知平面垂直．答案：D6.如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角解析：由于易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G，故平面EFG∥平面PBC，A正确；1由题意知PC⊥平面ABC，FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正确；根据异面直线所成角的定义可知，C正确；而D中，FE不垂直于AB，故∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，故选D.答案：D7．下列四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.解析：③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．答案：①②8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1－BD－C的大小为________．解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O， C1D＝C1B，O为BD中点，∴C1O⊥BD， AC⊥BD，∴∠C1OC是二面角C1－BD－C的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝，可以计算C1O＝2，∴sin∠C1OC＝＝，∴∠C1OC＝30°.答案：30°9.已知二面角α－l－β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为________．解析：如图，平移CD至AF，则∠BAF为所求．作二面角α－l－β的平面角∠BAE＝60°，又∠EAF＝45°，由cos∠BAF＝cos∠BAE·cos∠EAF得cos∠BAF＝×＝.答案：10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．(1)求证：EF∥平面CB1D1；(2)求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1.证明：(1)连接BD.2在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1.又 E、F为棱AD、AB的中点，∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1.(2) 在正方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.又 在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，∴B1D1⊥平面CAA1C1.又 B1D1⊂平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.B组能力提升11．如图，在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B－AO...
