面面垂直的性质（答题时间：40分钟）*1.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是________。**2.已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D为垂足，以AD为折痕，将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥平面BCD；④△ABC是等边三角形。其中正确结论的个数为________个。*3.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________。①AB∥m②AC⊥m③AB∥β④AC⊥β**4.如图所示，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°；其中正确结论的个数是________个。*5.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若m∥α，m⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；上面命题中，真命题的序号是________。*6.设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么，下列结论正确的是________。①a与b可能垂直，但不可能平行；②a与b可能垂直，也可能平行；③a与b不可能垂直，但可能平行；④a与b不可能垂直，也不可能平行。**7.已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足。（1）求证：PA⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形。**8.如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动。（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；（2）当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论。***9.已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小。1.直角三角形解析：如图所示，连接BD，作AE⊥BD于点E，因平面ABD⊥平面BCD，易知AE⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，所以BC⊥AE；又因AD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥AD，AE∩AD＝A，所以BC⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，则BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形。2.4解析：①正确，因∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，由题意知∠BDC＝90°，所以BD⊥CD；②正确，易知BD⊥平面ACD，所以BD⊥AC；③正确，因折叠后仍有AD⊥BD，AD⊥DC，易知AD⊥平面BCD；④正确，因AD＝BD＝DC，且以D为顶点的三个角都是直角，由勾股定理知AB＝BC＝AC，即△ABC为等边三角形。3.④解析：如图所示，AB∥l∥m，故①成立；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，故②成立；AB∥l⇒AB∥β，故③成立，故选④。4.3解析：设BD的中点为E，连接AE，CE，易证BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，所以AC⊥BD，故①正确；由于AE＝CE＝ED，易知AC＝AD＝CD，故②正确；由AE⊥平面BCD，∠ABE为AB与平面BCD所成的角，所以∠ABE＝45°，故③错误；如图所示，设AC，AD的中点分别为G，F，连接EF，EG，GF，因EF∥AB，GF∥CD，则∠EFG为AB与CD所成的角，设AB＝1，在Rt△AEC中，EG＝AC，AC＝＝＝1，所以EG＝＝EF＝FG，所以△EFG为等边三角形，故④正确。5.②解析：逐一将假命题排除即可得出正确答案。①错，当m⊂α时，则m⊥α为假命题；②对，当m∥α，m⊥β，则有m∥n，n⊂α且n⊥β，所以α⊥β；③错，由α⊥β，α⊥γ，β与γ垂直没有传递性，则β⊥γ为假命题；④错，由α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n得α∥β或者α与β相交；所以真命题的序号是②。6.③解析：由题意，当a∥l，l∥b时，a∥b；故①，④错；若a⊥b， b与l不垂直，在b上取点A，过A作AB⊥l，由面面垂直的性质定理得AB⊥α， a⊂α，∴AB⊥a，又a⊥b，AB∩b＝A，∴a⊥β⇒a⊥l，这和a与l不垂直相矛盾，∴不可能a⊥b，故②错，③正确。7.证明：（1）在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G. 平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC， PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA，同理可证，DG⊥PA， DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC；（2）连接BE并延长交PC于点H， E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又 AE是平面PBC的垂线，∴PC...
