面面垂直的判定（答题时间：40分钟）*1.下列命题中正确的是________。①若平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β。*2.设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是________。①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，l⊥α，则l⊥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β。**3.过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________。**4.如图，已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°，若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是________。*5.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是________。①BC∥面PDF；②DF⊥面PAE；③面PDF⊥面ABC；④面PAE⊥面ABC。6.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的大小为________。***7.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝。（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；（2）求二面角A—BE—P的大小。**8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点。求证：平面C1BD⊥平面BDE。**9.如图所示，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB。（1）求二面角A－PD－C的平面角的度数；（2）求二面角B－PA－D的平面角的度数；（3）求二面角B－PA－C的平面角的度数；（4）求二面角B－PC－D的平面角的度数。1③解析：当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故①错；由直线与平面垂直的判定定理知，②、④错，③正确。2.②解析：利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法。设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故①错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以②正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此③错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此④错误。3.45°解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°。4.90°解析：由∠POB＝45°，∠POQ≥45°知PO与平面β成45°角，若作PQ⊥β于Q点，则∠POQ＝45°，∴Q∈AB，又PQ⊂α，∴α⊥β。5.③解析：如图所示， BC∥DF，∴BC∥平面PDF，∴①正确，由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，∴②正确，∴平面ABC⊥平面PAE（BC⊥平面PAE），∴④正确。6.60°解析：如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角， DO＝OB＝BD＝，∴∠BOD＝60°。7.（1）证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形，因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE，而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB，又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB；（2）解：由（1）知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE，又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角，在Rt△PAB中，tan∠PBA＝，则∠PBA＝60°，故二面角A—BE—P的大小是60°。8.证明：设AC∩BD＝O，则O为BD的中点，连接C1O，EO，C1E，因为EB＝ED，点O是BD的中点，所以BD⊥EO，因为C1B＝C1D，点O是BD的中点，所以BD⊥C1O，所以∠C1OE即为二面角C1－BD－E的平面角，因为E为AA1中点，设正方体的棱长为a，则C1O＝，EO＝，C1E＝，所以C1O2＋EO2＝C1E2，所以C1O⊥OE，所以⊥C1OE＝90°，所以平面C1BD⊥平面BDE。9.解：（1） PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD， 四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD， PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD，∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°；（2） PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA，∴∠BAD为二面角B－PA－D...
