2．1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1．直线和平面的位置关系．正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AB相交的面有多少个？答案：两个直线在平面外，则直线与平面的关系是什么？答案：平行或相交直线与平面有公共点，则直线与平面的关系是什么？答案：直线与平面相交或直线在平面内直线与平面没有公共点，则直线与平面的关系是什么？答案：直线与平面平行当直线与平面相交时，平面上是否存在与该直线平行的直线？答案：不存在2．两个平面的位置关系．位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β有无数个(在一条直线上)►思考应用1．直线a与平面α平行，直线b与平面α也平行，则a与b有怎样的位置关系？解析：直线a与b平行，相交或异面．2．一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则该直线与另一个平面具有怎样的位置1关系？解析：该直线与另一个平面无公共点，故该直线与另一个平面平行．1．a∥α，b⊂α，那么a，b的位置关系是(D)A．平行B．异面C．相交或平行或异面D．平行或异面解析：a与α无公共点，a与b也无公共点，故a∥b或a与b异面．2．直线m∥平面α，则m与α的公共点有(A)A．0个B．1个C．2个D．无数个3．若直线a平行于直线b，则过a且与b平行的平面有无数个．4．直线l与平面α有两个公共点，则(D)A．l⊄αB．l∥αC．l与α相交D．l⊂α1．已知两条相交直线a，b，a∥平面α，b与α的位置关系是(D)A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交解析：b⊄α，否则a与b异面或平行．2．直线a在平面γ外，则(D)A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝AD．a与γ至多有一个公共点解析：a在平面γ外，包括两种情况：一是直线a与平面γ相交，二是直线a与平面γ平行，故至多有一个公共点．3．若两个平面平行，则分别在这两个平行平面内的直线(D)A．平行B．异面C．相交D．平行或异面4．直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系为(D)A．相交B．平行C．异面D．平行或异面或相交解析： a∥平面α，∴a与α无公共点．又 b∥α，∴b与α也无公共点，∴a∥b或a与b异面或a与b相交．5．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则(B)2A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一条边平行于αC．△ABC中至少有两条边平行于αD．△ABC中只可能有一条边与α相交解析：由题意，△ABC所在平面与平面α只可能为相交或平行的关系，若相交，则只有一边与α平行；若平行，则三边与α均平行．6．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCDA1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误．答案：①②7．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(D)A．α内的所有直线均与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线均与a相交D．直线a与平面α有公共点解析：依题意知，直线a可能位于平面α内，也可能与平面α相交．当直线a位于平面α内时，A，B，C均不正确，因此选D.8．证明：如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．证明：原题可化为已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a.求证：直线a与平面α相交．证明：假设直线a和平面α不相交，即a∥α或a⊂α.假设a∥α，就与A∈a，A∈α矛盾．假设a⊂α，就与B∈a，B∉α矛盾．∴假设不成立．∴直线a和平面α相交．9．如图1是一个正方体(如图2)的表面展开图的示意图，MN和PQ是两个面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题：(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比．解析：(1)MN与PQ是异面直线，如图，在正方体中，PQ∥NC，∠MNC为MN与PQ所成角． MN＝NC＝MC，3∴∠MNC＝60°.(2)设正方体的棱长为a，则正方体的体积V＝a3.而三棱锥MNPQ的体积与三棱锥NPQM的体积相等，且NP⊥面MPQ.∴VNPQM＝×MP·MQ·NP＝a3，即四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为...
