高中第一册(下)数学正弦定理、余弦定理(3)VIP免费

正弦定理、余弦定理(3)教学目的：1.进一步熟悉正、余弦定理内容；2.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点：三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求.教学过程：一、复习引入：正弦定理：余弦定理：，二、讲授新课：1.正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它.其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决.例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值.解： (这是角的关系)，∴(这是边的关系).于是，由合比定理得例2已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列.求证：sinA＋sinC＝2sinB证明： a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b(这是边的关系)①又②③将②、③代入①，得整理得sinA＋sinC＝2sinB(这是角的关系).2.正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值.用心爱心专心115号编辑解：原式＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150° 20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.设这三个内角所对的边依次是a、b、c，由余弦定理得：a2＋b2－2abcos150°＝c2（※）而由正弦定理知：a＝2Ｒsin20°，b＝2Ｒsin10°，c＝2Ｒsin150°，代入(※)式得：sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝∴原式＝.例4在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.()分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的.解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则,①又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cosα将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)所以此三角形三边长为4，5，6.评述：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程.例5已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长.分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用.解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c）④将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0再将③代入得a＋c＝13由∴b1＝7，b2＝7所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ.评述：(1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用.(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力.三、课堂练习：1.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形用心爱心专心115号编辑①②③2.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，则secA=.4.△ABC中，，则三角形为.5.在△ABC中，角A、B均为锐角且cosA＞sinB，则△ABC是.6.已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.7.在△ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)...