高中数学 第一章 立体几何初步 学业分层测评8 垂直关系的判定 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题VIP免费

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步学业分层测评8垂直关系的判定北师大版必修2(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法中正确的个数是()①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内两条直线垂直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α；⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.A．1B．2C．3D．4【解析】对①②⑤，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的．正确的是③④，故选B.【答案】B2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCDA1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.【答案】B3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ【解析】B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．【答案】A4．如图1611，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)，且PA＝AC，则二面角PBCA的大小为()图1611A．60°B．30°C．45°D．90°【解析】 AB为直径，∴AC⊥CB，又PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，PC平面PAC，∴PC⊥BC，∴∠PCA为二面角PBCA的平面角，又PA＝AC，∴∠ACP＝45°.【答案】C5．在三棱锥PABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E、F、G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()图1612A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】由三角形的中位线的性质可证EG∥BC，FG∥PC，进而可证平面EFG∥平面PBC.B正确，由PC⊥BC，PC⊥AC可证PC⊥平面ABC，又因为PC∥FG，所以FG⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面ABC.C正确，因为E、F分别为所在棱的中点，所以EF∥PB，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角，D错误，因为AB与平面EFG不垂直．【答案】D二、填空题6．如图1613，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．图1613【解析】 ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又 D1D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴D1D⊥AC. D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D. AC平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.【答案】垂直7．如图1614所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．图1614【解析】⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.【答案】4个8．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．【解析】如图所示，设正四面体ABCD的棱长为1，顶点A在底面上的射影为O，连接DO，并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成的二面角的平面角．在Rt△AEO中，AE＝，EO＝ED＝×＝，∴cos∠AEO＝＝.【答案】三、解答题9．如图1615，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.图1615【证明】设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.10.如图1616，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：图1616(1)CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.【导学号：10690023】【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE...