2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定（1）高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③B．②C．②④D．①②④解析：由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直．答案：A2．已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥αB．a⊂αC．a⊥αD．a是α的斜线解析：答案：C3．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案：C4．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，则直线BA1与平面DD1B1B所成的角是()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：如图取B1D1的中点O1，连接A1O1，易证A1O1⊥平面DD1B1B.连接O1B，则O1B为A1B在平面DD1B1B内的射影，∴∠A1BO1为所求的线面角．在Rt△A1O1B中，sin∠A1BO1＝＝，∴∠A1BO1＝30°.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．解析：如图，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD.又PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，平行四边形ABCD为菱形．答案：菱形6．矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°.答案：30°三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.证明：∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.∵AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.8．如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD对角线的交点，而CDE是等边三角形，棱EF∥BC，且EF＝BC，设BC＝CD.求证：EO⊥平面CDF.证明：如图所示，取CD中点M，连接EM，FM，OM，FO.∵四边形ABCD为矩形，∴OM∥AD∥BC，且OM＝AD＝BC.又EF∥BC且EF＝BC，∴四边形EFOM是平行四边形．又△CDE是等边三角形，CM＝DM.∴EM⊥CD，且EM＝CD＝CB＝EF，∴四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.∵CD⊥OM，CD⊥EM，EM∩OM＝M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而FM∩CD＝M，∴EO⊥平面CDF.☆☆☆9．(10分)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，求PA与平面ABC所成角的大小．解析：画出三棱柱ABC－A1B1C1，作出PA与平面ABC所成的角，解三角形求角．如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，则S＝×()2＝，VABC－A1B1C1＝S·PO＝，∴PO＝.又AO＝××＝1，∴tan∠PAO＝＝，∴∠PAO＝.
