【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步学业分层测评12球北师大版必修2(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为()A.πB.C．8πD.π【解析】设球的半径为R，截面的半径为r. πr2＝π，∴r＝1，∴R＝，∴V＝πR3＝()3＝π.【答案】D2．64个半径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个半径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则()A．V甲>V乙且S甲>S乙B．V甲S乙D．V甲＝V乙且S甲＝S乙【解析】64个半径都为的球，它们的体积之和为V甲＝64×π·＝πa3，表面积之和为S甲＝64×4π＝16πa2；一个半径为a的球，其体积为V乙＝πa3，表面积为S乙＝4πa2，所以V甲＝V乙且S甲>S乙，故选C.【答案】C3．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没在底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了()A.cmB.cmC.cmD.cm【解析】设容器内的水面下降了hcm，则球的体积等于水下降的体积，即π·13＝π·22·h，解得h＝.【答案】D4．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么该三棱柱的体积是()【导学号：10690035】A．96B．16C．24D．48【解析】用平行于棱柱底面的平面去截棱柱和球，截面如图所示：设球的半径为R，则R3＝，所以R＝2.所以正三棱柱底面边长a＝4，其高h＝2R＝4，V＝×(4)2×4＝48.【答案】D5．若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A．4π(r＋R)2B．4πr2R2C．4πrRD．π(R＋r)2【解析】法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.【答案】C二、填空题6．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．【解析】如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O， 正四棱锥PABCD中AB＝2，∴AO′＝. PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，∴该球的表面积为4πR2＝4π×＝.【答案】7．如图1733是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．图1733【解析】根据三视图可知，该几何体是一个半球与一个圆锥组合而成，所以其表面积为S＝S半球＋S侧＝×4π×12＋π×1×＝(2＋)π.【答案】(2＋)π8．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1734所示)，则球的半径是________cm.图1734【解析】设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有πr2·6r＝8πr2＋3×πr3，即2r＝8，∴r＝4.【答案】4三、解答题9．(2016·汕头高一检测)设正方体的表面积为24，求其内切球的体积及外接球的体积．【解】设正方体的棱长为a，则6a2＝24，∴a＝2，正方体内切球的直径等于其棱长，∴2r＝2，r＝1，故内切球的体积V内＝πr3＝π.外接球的直径等于正方体的对角线长，∴2R＝a，∴R＝，故外接球的体积V外＝πR3＝π×()3＝4π.10.如图1735，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积．(其中∠BAC＝30°)图1735【解】过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R.AO1＝AC·sin60°＝R，BO1＝AB－AO1＝，∴V球＝πR3.V圆锥AO1＝·π··R＝πR3，V圆锥BO1＝·π··R＝πR3，V几何体＝V球－V－V＝πR3－πR3－πR3＝πR3.[能力提升]1．如图1736，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()图1736A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)...
