§3双曲线3.1双曲线及其标准方程课时目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.1.双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.(2)双曲线的焦点和焦距__________________________________,两焦点间的距离叫作________________.2.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是________________,焦点F1__________,F2__________.(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是______________________,焦点F1________,F2________.(3)双曲线中a、b、c的关系是______________.一、选择题1.已知平面上定点F1、F2及动点M,命题甲:||MF1|-|MF2||=2a(a为常数),命题乙:M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是()A.双曲线,焦点在x轴上B.双曲线,焦点在y轴上C.椭圆,焦点在x轴上D.椭圆,焦点在y轴上3.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.-=14.双曲线-=1的一个焦点为(2,0),则m的值为()A.B.1或3C.D.5.一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为()A.抛物线B.圆C.双曲线的一支D.椭圆6.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是()A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1题号123456答案二、填空题7.设F1、F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且PF1·PF2=0,则|PF1|·|PF2|=______.8.已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是________.9.F1、F2是双曲线-=1的两个焦点,P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|=32,则∠F1PF2=______.三、解答题10.设双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.111.在△ABC中,B(4,0)、C(-4,0),动点A满足sinB-sinC=sinA,求动点A的轨迹方程.能力提升12.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP·FP的取值范围为()A.1.双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得.2.和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解,也要和双曲线的定义相结合.3.直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求),利用韦达定理,弦长公式等解决.§3双曲线3.1双曲线及其标准方程知识梳理1.(2)双曲线的焦点双曲线的焦距2.(1)-=1(a>0,b>0)(-c,0)(c,0)2(2)-=1(a>0,b>0)(0,-c)(0,c)(3)c2=a2+b2作业设计1.B2.B3.A4.A5.C6.B7.2解析∵||PF1|-|PF2||=4,又PF1⊥PF2,|F1F2|=2,∴|PF1|2+|PF2|2=20,∴(|PF1|-|PF2|)2=20-2|PF1||PF2|=16,∴|PF1|·|PF2|=2.8.-10.所以(k+1)(k-1)<0.所以-10,b>0),由题意知c2=36-27=9,c=3.又点A的纵坐标为4,则横坐标为±,于是有解得所以双曲线的标准方程为-=1.方法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±,4),又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3).所以2a=|-|=4,即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为-=1.11.解设A点的坐标为(x,y),在△ABC中,由正弦定理,得===2R,代入sinB-sinC=sinA,得-=·,又|BC|=8,所以|AC|-|AB|=4.因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a=4,2c=8,所以a=2,c=4,b2=12.所以A点的轨迹方程为-=1(x>2).12.B13.解设双曲线的标准方程为-=1,且c=,则a2+b2=7.①由MN中点的横坐标为-知,中点坐标为.设M(x1,y1),N(x2,y2),则由得b2(x1+x2)(x1-x2)-a2(y1+y2)(y1-y2)=0.∵,且=1,∴2b2=5a2.②由①,②求得a2=2,b2=5.∴所求双曲线的标准方程为-=1.3