2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(2)课时跟踪检测一、选择题1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－6y＝0的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．内含解析：原方程可转化为O1：(x－1)2＋y2＝1，O2：x2＋(y－3)2＝9，∴O1(1,0)，O2(0,3)，r1＝1，r2＝3.|O1O2|＝.∵3－1＜＜3＋1，∴r2－r1＜|O1O2|＜r1＋r2.∴两圆相交．答案：A2．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为()A．2B．－5C．2或－5D．不确定解析：由题意得|C1C2|＝3＋2，即＝5.整理得m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.答案：C3．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，∴|C1C2|＝＝＜r1＋r2，且|C1C2|＞|r1－r2|∴两圆相交，公切线有两条．答案：B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析：由题意知，所求圆圆心的轨迹是以(5，－7)为圆心，以4－1或4＋1为半径的圆，即(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9.答案：D5．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1解析：圆心(1,2)关于直线y＝x的对称点为(2,1)，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案：A6．以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.2＋2＝D.2＋2＝解析：C1：(x＋2)2＋y2＝3，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，直线C1C2的方程为x＋y＋2＝0.公共弦所在直线方程为x－y＝0.由得故圆心为(－1，－1)，综合选项知选B.答案：B二、填空题7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________________．解析：设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝98．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.解析：公共弦所在直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线y＝的距离d＝，由2＋2＝22，解得a＝1.答案：19．两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P坐标为(1,2)，则Q点的坐标为________．解析：圆心分别为(－1,1)、(2，－2)，过圆心的直线方程为＝，即y＝－x.由题意知两圆交点关于直线y＝－x对称，∴Q(－2，－1)．答案：(－2，－1)三、解答题10．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为(2,1)．若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．解：设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x＋4y＋r－8＝0.作O1H⊥AB，则|AH|＝|AB|＝，所以圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，解得r＝4或r＝20，故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.11．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．将x2＋y2－2x＝0化为标准方程(x－1)2＋y2＝1.则解得或故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.12．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．解：设圆B的半径为r，∵圆B的圆心在直线l：y＝2x上，∴圆B的圆心可设为(t,2t)，则圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0.①∵圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0.②由②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0.③又∵圆B平分圆A的周长，∴圆A的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x＝－1，y＝－1代入方程③，并整理得：r2＝5t2＋6t＋6＝52＋≥，∴t＝－时，rmin＝.此时，圆B的方程是2＋2＝.13．已知实数x，y满足x2＋y2＋4x＋3＝0，求的最大值与最小值．解：如图所示，设M(x，y)，则点M在圆O1：(x＋2)2＋y2＝1上．令Q(1,2)，则设k＝kMQ＝，即kx－y－k＋2＝0.过Q作圆O1的两条切线QA，QB，则直线QM夹在两切线QA，QB之间，∴kQA≤kQM≤kQB.又由O1到直线kx－y－k＋2＝0的距离为1，得＝1，即k＝.∴的最大值为，最小值为.
