3.3.2利用导数研究函数的极值课后训练1．在下面函数y＝f(x)图象中既是函数的极大值点又是最大值点的是()A．x1B．x2C．x3D．x42．在上题的函数图象中，是f′(x)＝0的根但不是函数f(x)的极值点的是()A．x0B．x2C．x3D．x43．函数y＝x2＋2x的极小值为()A．－2B．－1C．0D．14．函数f(x)＝xlnx在[1，e]上的最小值和最大值分别为()A．0，elneB．1e，0C．1e，eD．0，e5．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为()A．2B．4C．18D．206．关于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列四个命题：(1)f(x)是增函数，无极值；(2)f(x)是减函数，无极值；(3)f(x)单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)；(4)f(x)在x＝0处取得极大值0，在x＝2处取得极小值－4.其中正确命题是________．7．已知函数f(x)＝2x3＋3(a＋2)x2＋3ax的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝2，则a＝__________.8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__________．9．求曲线f(x)＝12x2＋4lnx上切线斜率的极小值点．10．设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值．1参考答案1.答案：C2.答案：A3.答案：B4.答案：Df′(x)＝lnx＋1.当1≤x≤e时，f′(x)＝lnx＋1＞0，故f(x)＝xlnx在[1，e]上是增函数．所以当x＝1时，f(x)取得最小值0；当x＝e时，f(x)取得最大值e.5.答案：D令f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)＝0，得x＝±1，又x∈[0,3]，∴x＝1.则x∈(0,1)时，f′(x)＜0；x∈(1,3)时，f′(x)＞0.又f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，∴M＝18－a，N＝－2－a，M－N＝20.6.答案：(3)(4)7.答案：4f′(x)＝6x2＋6(a＋2)x＋3a.∵x1，x2是f(x)的两个极值点，∴f′(x1)＝f′(x2)＝0，即x1，x2是6x2＋6(a＋2)x＋3a＝0的两个根，从而x1x2＝36a＝2，∴a＝4.8.答案：a＜－1或a＞2f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.∵f(x)既有极大值又有极小值，∴f′(x)＝0有两个不相同的实数根．∴Δ＝4a2－4(a＋2)＞0.解得a＞2或a＜－1.9.答案：分析：先求曲线f(x)上的切线的斜率，即函数f(x)的导数f′(x)，再求f′(x)的极小值．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋4x.令h(x)＝x＋4x，则h′(x)＝1－24x.当0＜x＜2时，h′(x)＜0，所以h(x)在(0,2)上是减函数．当x＞2时，h′(x)＞0，所以h(x)在(2，＋∞)上是增函数；所以h(x)在x＝2处取得极小值，且h(2)＝4，故曲线f(x)＝12x2＋4lnx上切线斜率的极小值点为2.10.答案：分析：按照求函数极值的步骤求解即可．解：由f(x)＝sinx－cosx＋x＋1,0＜x＜2π，知f′(x)＝cosx＋sinx＋1，于是π'()12sin4fxx.2令f′(x)＝0，从而π2sin42x，得x＝π或3π2x.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，π)π3ππ,23π23π,2π2f′(x)＋0－0＋f(x)π＋23π2因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)和3π,2π2，单调递减区间是3ππ,2，极小值为3π3π22f，极大值为f(π)＝π＋2.3
