课时分层作业(二十四)(建议用时：40分钟)一、选择题1．若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的()A．实半轴长相等B．虚半轴相等C．离心率相等D．焦距相等D[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]2．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(，＋∞)B．(，2)C．(1，)D．(1,2)C[由题意得双曲线的离心率e＝.即e2＝＝1＋. a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.故选C.]3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1A[双曲线C的渐近线方程为－＝0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以－＝0，即a2＝4b2①.又a2＋b2＝c2＝25②.由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A.]4．过双曲线－＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是()A．B．1＋C．2＋D．3－B[因为|PF2|＝|F2F1|,P点满足－＝1，∴y＝，∴2c＝，即2ac＝b2＝c2－a2，∴2＝e－，又e＞0，故e＝1＋.]5．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()A．B．3C．2D．4B[根据题意，可知其渐近线的斜率为±，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝(x－2)，分别与两条渐近线y＝x和y＝－x联立，求得M(3，)，N，所以|MN|＝＝3.]二、填空题6．(一题两空)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________，渐近线方程是_______1_．2y＝±x[a2＝1，b2＝m，e2＝＝＝1＋m＝3，m＝2.渐近线方程是y＝±x＝±x.]7．以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．－＝1[以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即－＝1.]8．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．－y2＝1[法一： 双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)． 双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.法二： 渐近线y＝x过点(4,2)，而＜2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1.]三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为；(2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)．[解](1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，因为＝，所以a＝5，b＝＝12.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝①.因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1②.联立①②，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.③ A(2，－3)在双曲线上，∴－＝1.④由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为－＝1.210．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2.(1)求双曲线C的方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．[解](1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝.所以所求双曲线方程为x2－＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为y－＝－，即x＋y－2m＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l的方程为y＝x±.11．(多选题)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是()A．有相...
