掌握平面向量在解析几何、三角函数及数列等方面的综合应用.平面向量是中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介，本讲主要梳理平面向量与三角函数、解析几何、数列的交汇，突出培养学生运用向量工具综合解决问题的能力.1.向量中“数与形”转化化归思想向量既有大小，又有方向，兼备“数”“形”双重特点.向量运算均有相应的几何性质，因此有关几何性质的问题可通过向量或其运算转化化归为代数问题分析、探究.2.向量的工具性作用线段的长,直线的夹角,有向线段的分点位置，图形的平移变换均可用向量形式表示,从而向量具有工具性作用.可以用向量来研究几何问题,利用其运算可以研究代数问题.3.向量载体的意义函数、三角函数、数列、解析几何问题常常由向量形式给出，即以向量为载体，通过向量的坐标运算转化化归为相应的函数、三角函数、数列、解析几何问题，这就是向量载体的意义.这类问题情境新颖，处在知识的交汇点，需要综合应用向量、函数、三角函数、数列、解析几何知识分析、解决问题.1.在△ABC中，有命题：①AB→－AC→＝BC→；②AB→＋BC→＋CA→＝0；③若(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若AB→·AC→>0，则△ABC为锐角三角形．上述命题正确的是()A．①②B．①④C．②③D．②③④【解析】在△ABC中，AB→－AC→＝CB→，故①错；由闭合向量和为零向量可知，②正确；③中(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝AB→2－AC→2＝0，则AB＝AC，故为等腰三角形，故③正确；若AB→·AC→>0，则∠A∈(0,90°)，但∠B，∠C不一定为锐角，故不一定为锐角三角形，故选C.2.已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2【解析】F1＋F2＝(1,2lg2)，W＝(F1＋F2)·s＝2lg2＋2lg5＝2，故选D.3.已知A、B、C是△ABC的三个顶点，AB→2＝AB→·AC→＋AB→·CB→＋BC→·CA→，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】AB→2＝AB→·(AC→＋CB→)＋BC→·CA→＝AB→2＋BC→·CA→所以BC→·CA→＝0，即BC⊥AC.4.如图，用两条成120°角的等长的绳子挂一个箱子，已知箱子的重量为10N，每根绳子所承受力的大小为10N.【解析】方法1：设每根绳子所承受的力为F1、F2，则F1＋F2＝G(G为重力)⇒F21＋2F1·F2＋F22＝G2⇔F21＋2|F1|2·cos120°＋F22＝100⇒|F1|＝|F2|＝10.方法2：如图，在△ABC中，∠CAD＝∠BAD＝60°且|AD|＝5，所以AC＝AB＝10.5.设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝6.【解析】设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则F为△ABC的重心，所以A、B、C三点的横坐标的和为F点横坐标的3倍，即等于3，所以|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝(xA＋1)＋(xB＋1)＋(xC＋1)＝6，故填6.易错点：不能从FA→＋FB→＋FC→＝0得出F为△ABC的重心，造成计算量增大，甚至失去解题方向．一用向量解决平面几何问题【例1】如图所示，若点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.【分析】要证明AD⊥BC，则只需证明AD→·BC→＝0，可设AD→＝m，AB→＝c，AC→＝b，通过向量的运算解决．【证明】设AB→＝c，AC→＝b，AD→＝m，则BD→＝AD→－AB→＝m－c，CD→＝AD→－AC→＝m－b.因为AB2＋CD2＝AC2＋BD2，所以c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，即2m·(c－b)＝0，即AD→·(AB→－AC→)＝0，所以AD→·CB→＝0，所以AD⊥BC.【点评】(1)一般情况下，用向量解决平面几何问题，要用不共线的向量表示题目所涉及的所有向量，再通过向量的运算法则和性质解决问题．(2)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．②通过运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．③把运算结果“翻译”成几何关系．已知向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角．(1)求角C...
