数学归纳法问题 1: 大球中有 5 个小球，如何证明它们都是 绿色的？ 模 拟 演 示问题情境问题 2: 某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地 说全世界的乌鸦都是黑的．问题 3: 如果 {an} 是一个等差数列，怎样得到 an=a1+(n-1)d由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 （ 1 ）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的 推理方法（ 2 ）不完全归纳法：考察部分对象，得到一般结论的 推理方法归纳法归纳法分为：完全归纳法 和 不完全归纳法 多米诺骨牌演示(2) 任意相邻的两块骨牌前一块倒下，一定导 致后一块倒下． 请思考：满足什么样的条件才能便骨牌全部倒下 ?(1) 第一块骨牌倒下；( 相当验证 n=n0 时等式成立 .)( 相当假设 n=k 时等式成立，证明n=k+1 时，等式也成立 .) 一个与自然数相关的命题，如果（ 1 ）当 n取第一个值 n0 时命题成立；（ 2 ）在假设当 n=k(kN* ,k≥n∈0) 时命题成立的前提下，推出当 n=k+1 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n取第一个值后面的所有正整数成立。 这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法例 1 用数学归纳法证明：如果 {an} 是一个等差数 列，公差为 d, 那么 an=a1+(n-1)d 对一切 nN+∈ 都成立。 (2) 假设当 n=k 时，等式成立，即 ak=a1+(k-1)d 那么当 n=k+1时 ak+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+[(k+1)-1]d∴ 当 n=k+1 时，结论也成立。由 (1) 和 (2) 知 , 等式对于任何 n∈N+ 都成立。利 用 假设结论从 n=k 到 n=k+1 有什么变化例题讲解证明 : (1) 当 n=1 时，左边 =a １ ，右边 =a １ + （ 1-1 ） d=a １ ∴ 当 n=1 时，等式成立(2) 假设当 n=k 时 , 等式成立，即2135(2n1)n证明： (1) 当 n=1 时，左边 =1, 右边 =1 ，等式成立。那么 222135(21)2(1)12(1)1211kkkkkkk这就是说，当 n=k+1 时等式成立。由 (1) 和 (2) 可知，等式对任何n∈N+ 都成立。例题讲解2135(2k1)k用数学归纳法证明课堂练习练习 1 用数学归纳法证明223333nn1123n4证明： ⑴ 当 n=1 时，左边 =1 ，右边 =1 ， ∴ 等式成立。⑵ 假设当 n=k 时，等式成立。即223333kk1123k4那么当 n=k+1 时，3333...
