中档大题保分练(四)(推荐时间：50 分钟)1． 已知函数 f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减；如图，四边形 OACB 中，a，b，c 为△ABC 的内角 A，B，C 的对边，且满足＝.(1)证明：b＋c＝2a；(2)若 b＝c，设∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，求四边形 OACB 面积的最大值．(1)证明 由题意知：＝，解得：ω＝， ＝，∴sin Bcos A＋sin Ccos A＝2sin A－cos Bsin A－cos Csin A，∴sin Bcos A＋cos Bsin A＋sin Ccos A＋cos Csin A＝2sin A，∴sin(A＋B)＋sin(A＋C)＝2sin A，∴sin C＋sin B＝2sin A⇒b＋c＝2a.(2)解 因为 b＋c＝2a，b＝c，所以 a＝b＝c，所以△ABC 为等边三角形，SOACB＝S△OAB＋S△ABC＝OA·OBsin θ＋AB2＝sin θ＋(OA2＋OB2－2OA·OBcos θ)＝sin θ－cos θ＋＝2sin＋， θ∈(0，π)，∴θ－∈，当且仅当 θ－＝，即 θ＝时取最大值，SOACB的最大值为 2＋.2． 张师傅驾车从公司开往火车站，途经 4 个交通岗，这 4 个交通岗将公司到火车站分成 5 个路段，每个路段的驾车时间都是 3 分钟，如果遇到红灯要停留 1 分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.(1)求张师傅此行程时间不少于 16 分钟的概率；(2)记张师傅此行程所需时间为 Y 分钟，求 Y 的分布列和均值．解 (1)如果不遇到红灯，全程需要 15 分钟，否则至少需要 16 分钟．所以张师傅此行程时间不少于 16 分钟的概率P＝1－4＝.(2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为 X，则 X～B，P(X＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4.依题意，Y＝15＋X，则 Y 的分布列为Y1516171819PY 的均值 E(Y)＝E(X＋15)＝E(X)＋15＝4×＋15＝.3． 如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC上移动．(1)点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由；(2)求证：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PE⊥AF；(3)当 BE 为何值时，PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°.(1)解 当点 E 为 BC 的中点时，EF 与平面 PAC 平行． 在△PBC 中，E、F 分别为 BC、PB 的中点，∴EF∥PC.又 EF⊄平面 PAC，而 PC⊂平面 PAC，∴EF∥平面 PAC.(2)证明 以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,1)，B(0,1,0)，F，D(，0,0)．设 BE＝x，则 E(x...
