第40讲直线、平面垂直的判定及其性质[解密考纲]对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等．一、选择题1．若α，β表示两个不同的平面，直线m⊂α“，则α⊥β”“是m⊥β”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直判定定理，得m⊥β⇒α⊥β，而α⊥β时，α内任意直线不可能都垂直于β“，因此α⊥β”“是m⊥β”的必要不充分条件．故选B．2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(D)A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立．故选D．3．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是(D)A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则l∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α解析对于A项，m与α位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b⊂α，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确．4．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析 AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又 AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(D)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.6．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(D)A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC解析对于A项，MN与AB异面，故A项错；对于B项，可证BC⊥平面VAC，故BC⊥MN，所以所成的角为90°，因此B项错；对于C项，OC与AC不垂直，所以OC不可能垂直平面VAC，故C项错；对于D项，由于BC⊥AC，VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，故D项正确．二、填空题7．已知不同直线m，n与不同平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中真命题的个数是__2__.解析①平行于同一平面的两直线不一定平行，所以①错误．②根据线面垂直的性质可知②正确．③根据面面垂直的性质和判定定理可知③正确，所以真命题的个数是2.8．如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，N，M分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是__①②__(填上所有正确说法的序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.解析①如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ，又PQ⊂平面DEC，故MN∥平面DEC.①正确．②取AE的中点O，易证NO⊥AE，MO⊥AE.故AE⊥平面MNO，又MN⊂平面MNO，则AE⊥MN.②正确．③ D∉平面ABC，∴N∉平面ABC，又A，B，M∈平面ABC.∴MN与AB异面．③错误．9．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝2.解析 DA＝DC＝AA1＝DD1，且DA，DC，DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M⊥平面A1C1D，∴DM＝2.三、解答题10．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，...
