课时分层作业四十四平行、垂直的综合问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图所示,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是()A.A1DB.AA1C.A1D1D.A1C1【解析】选D.易知AC⊥平面BB1D1D.因为A1C1∥AC,所以A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D,所以A1C1⊥B1O.2.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则()A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形【解析】选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EF=BD,所以EF∥面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HG=BD,所以EF∥HG且EF≠HG,所以四边形EFGH是梯形.3.设α,β是两个不同的平面,l,m为两条不同的直线.命题p:若平面α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;命题q:l∥α,m⊥l,m⊂β,则β⊥α,则下列命题为真命题的是()A.p或qB.p且qC.﹁p或qD.p且﹁q【解析】选C.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,命题p:平面AC为平面α,平面A1C1为平面β,直线A1D1和直线AB分别是直线m,l,显然满足α∥β,l⊂α,m⊂β,而m与l异面,故命题p是假命题,﹁p是真命题;命题q:平面AC为平面α,平面A1C1为平面β,直线A1D1和直线A1B1分别是直线m,l,显然满足l∥α,m⊥l,m⊂β,而α∥β,故命题q是假命题,﹁q是真命题.4.(2018·杭州模拟)空间四边形ABCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,M,N分别是对角线AC与BD的中点,则MN与()A.AC,BD之一垂直B.AC,BD不一定垂直C.AC,BD都不垂直D.AC,BD都垂直【解析】选D.连接BM,DM,AN,CN,在△ABC和△ACD中,AB=CD,AD=BC,AC=CA,故△ABC≌△CDA.又M为AC中点,所以BM=DM.因为N为BD的中点,所以MN⊥BD.同理可证MN⊥AC.5.如图所示,三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=BD=2,E是棱CD上的任意一点,F,G分别是AC,BC的中点,则在下面命题中:①平面ABE⊥平面BCD;②平面EFG∥平面ABD;③四面体FECG体积的最大值是.真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.①正确,因为AB⊥平面BCD,且AB⊂平面ABE,由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD;②错,若两平面平行,则必有AD∥EF,而点E是棱CD上任意一点,故该命题为假命题;③正确,由已知易得GF⊥平面GCE,且GF=AB=1,而S△GCE=GC·CE·sin45°=CE≤1,故VF-GCE=S△GCE·FG≤.故正确的命题为①③.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知平面α,β和直线m.给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.(1)当满足条件________时,有m∥β.(2)当满足条件________时,有m⊥β.【解析】(1)当m⊂α,且α∥β时,有m∥β,故填③⑤.(2)当m⊥α,且α∥β时,有m⊥β,故填②⑤.答案:(1)③⑤(2)②⑤7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足______________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).【解析】连接AC,因为四边形ABCD各边相等,所以BD⊥AC,又PA⊥底面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,而PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件______________时,有MN∥平面B1BDD1.【解析】如图,连接FH,HN,FN,由题意知HN∥面B1BDD1,FH∥面B1BDD1.且HN∩FH=H,所以面NHF∥面B1BDD1.所以当M在线段HF上运动时,有MN∥面B1BDD1.答案:M∈线段HF三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.证明:A1D⊥平面A1BC.【证明】设E为BC的中点,连接A1E,AE,DE,由题意得A1E⊥平面ABC,因为AE⊂平面ABC,所以A1E⊥AE.因为AB=AC,所以AE⊥BC.又BC∩A1E=E,所以AE⊥平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点得DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1A,所以AA1DE为平行四边形.所以A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.10.(2017·全国卷Ⅰ)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD.(2)...
