热点探究训练(四)立体几何中的高考热点问题1．如图7，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E，F分别为MA，DC的中点，求证：图7(1)EF∥平面MNCB；(2)平面MAC⊥平面BDN.[证明](1)取NC的中点G，连接FG，MG.因为ME∥ND且ME＝ND，又因为F，G分别为DC，NC的中点，FG∥ND且FG＝ND，所以FG綊ME，所以四边形MEFG是平行四边形，所以EF∥MG.4分又MG⊂平面MNCB，EF⊄平面MNCB，所以EF∥平面MNCB.6分(2)连接BD，MC，因为四边形MADN是矩形，所以ND⊥AD，又因为平面MADN⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面MADN＝AD，ND⊂平面MADN，所以ND⊥平面ABCD，所以ND⊥AC.8分因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.10分因为BD∩ND＝D，所以AC⊥平面BDN.又因为AC⊂平面MAC，所以平面MAC⊥平面BDN.12分2．(2017·合肥质检)如图8，直角三角形ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．图8(1)求证：BD⊥PE；(2)过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB的中点，若PE∥平面DMN，求的值．[解](1)证明：∵BD⊥PD，BD⊥CD且PD∩DC＝D，∴BD⊥平面PCD，而PE⊂平面PCD，∴BD⊥PE.5分(2)由题意得BM＝BC，取BC的中点F，则PF∥MN，∴PF∥平面DMN，7分由条件PE∥平面DMN，PE∩PF＝P，∴平面PEF∥平面DMN，∴EF∥DM.10分∴＝＝.12分3．(2017·西安调研)如图9①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.【导学号：31222266】①②图9(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值．[解](1)证明：在图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.2分则在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，且A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.5分(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.8分即A1O是四棱锥A1BCDE的高．由图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1BCDE的体积为V＝S·A1O＝·a2·a＝a3.由a3＝36，得a＝6.12分4．(2017·贵阳模拟)已知如图10，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝1，∠ABC＝∠DBC＝120°.图10(1)在直线BC上求作一点O，使BC⊥平面AOD，写出作法并说明理由；(2)求三棱锥ABCD的体积.【导学号：31222267】[解](1)作AO⊥BC，交CB延长线于点O，连接DO，则BC⊥平面AOD.1分证明如下：∵AB＝DB，OB＝OB，∠ABO＝∠DBO，∴△AOB△DOB，3分则∠AOB＝∠DOB＝90°，即OD⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.5分(2)∵△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，即AO是三棱锥ABCD底面BCD上的高，7分在Rt△AOB中，AB＝1，∠ABO＝60°，∴AO＝ABsin60°＝.10分又∵S△BCD＝BC·BD·sin∠CBD＝，∴V三棱锥ABCD＝·S△BCD·AO＝××＝.12分5.如图11，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.图11(1)求三棱锥PABC的体积；(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出的值；若不存在，请说明理由．[解](1)由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，可得S△ABC＝·AB·AC·sin60°＝.2分由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高．又PA＝1，所以三棱锥PABC的体积V＝·S△ABC·PA＝.5分(2)证明：在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM.7分由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC.由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM.10分在Rt△BAN中，AN＝AB·cos∠BAC＝，从而NC＝AC－AN＝.由MN∥PA，得＝＝.12分6.(2015·湖南高考)如图12，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．图12(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积．[解](1)证明：如图，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AE⊥BB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE⊥BC.3分因此AE⊥平面B1BCC1.而AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面B1BCC1.5分(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为△ABC是正三角形，所以CD⊥AB.又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CD⊥AA1.因此CD⊥平面A1ABB1，于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.8分由题设，∠CA1D＝45°，所以A1D＝CD＝AB＝.在Rt△AA1D中，AA1＝＝＝，所以FC＝AA1＝.故三棱锥FAEC的体积V＝S△AEC·FC＝××＝.12分
