第八章立体几何第6讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A.2B.－4C.4D.－2解析 α∥β，∴两平面法向量平行，∴＝＝，∴k＝4.答案C2.若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析 AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面.则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案D3.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是()A.P(2，3，3)B.P(－2，0，1)C.P(－4，4，0)D.P(3，－3，4)解析逐一验证法，对于选项A，MP＝(1，4，1)，∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.答案A4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为()A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0).∴PM＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，AM＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，即PM⊥AM，∴AM⊥PM.答案C5.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上正确说法的个数为()A.1B.2C.3D.4解析A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，∴A1M∥D1P，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确.答案C二、填空题6.已知直线l的方向向量为ν＝(1，2，3)，平面α的法向量为u＝(5，2，－3)，则l与α的位置关系是________.解析 ν·u＝0，∴ν⊥u，∴l∥α或l⊂α.答案l∥α或l⊂α7.(2016·青岛模拟)已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.解析由条件得解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝.答案8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的序号是________.解析 AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确.又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确.由于BD＝AD－AB＝(2，3，4)，AP＝(－1，2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误.答案①②③三、解答题9.(2016·北京房山一模)如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.证明建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0).(1) PB＝(2，0，－2)，EH＝(1，0，－1)，∴PB＝2EH，∴PB∥EH. PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)PD＝(0，2，－2)，AH＝(1，0，0)，AF＝(0，1，1)，∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD⊥AF，PD⊥AH，又 AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.10.(2016·日照调研)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.(1)证明 PA＝AD＝1，PD＝，∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD.(2)解以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E，AC＝(1，1，0)，AE＝.设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，则n＝(－1，1，－2).假设侧棱PC上存在一点F，且CF＝...
