7．1柱、锥、台的侧面展开与面积1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()A．22B．20C．10D．11[解析]所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.[答案]A2．若圆锥的主视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的()A.倍B．3倍C．2倍D．5倍[解析]设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2.故选C.[答案]C3．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是，则长方体的侧面积等于()A．2B．4C．6D．3[解析]设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则c＝1，ab＝2,·c＝，∴a＝2，b＝1，故S侧＝2(ac＋bc)＝6.[答案]C4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是()A．3πB．3πC．6πD．9π[解析]根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.[答案]A曲面上的最值问题有关曲面上(球面除外)两点间的最短距离问题，一般利用表面展开图转化为平面上两点间的距离问题，体现了立体几何“平面化”的思想．【示例】如图所示，圆柱OO′的底面半径为2cm，高为4cm，点P为母线B′B的中点，∠AOB＝π，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最小路程．[思路分析]考虑将侧面展开转化为平面上的最值问题．[解]将圆柱侧面沿母线A′A剪开展平为平面图，如下图所示．则易知最短路程为平面图中线段AP.在Rt△ABP中，AB＝π×2＝π，PB＝2(cm)，∴AP＝＝(cm)．即蚂蚁爬的最小路程为cm.[题后反思]多面体、旋转体的表面最值问题，都是用表面展开(球面除外)转化为平面图形求最值．[针对训练]如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N.求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC和NC的长．[解](1)正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝.(2)如下图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．设PC＝x，则P1C＝x.在Rt△MAP1中，由勾股定理得(3＋x)2＋22＝29，解得x＝2.∴PC＝P1C＝2.∵＝＝，∴NC＝.
