9.2正弦定理与余弦定理的应用9.3数学探究活动：得到不可达两点之间的距离学习目标核心素养1.了解实际问题中所涉及的名词和一些术语，能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2．能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点)1.通过应用正、余弦定理求距离、高度、角度问题，培养直观想象、数学运算素养．2．借助将实际问题转化为解三角形问题，培养数学建模素养.在实地测量工作中，经常遇到一些不便于直接测量的情形．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．在地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米．思考：你能给出一种计算博物馆正门柱楼顶部点P离地面的高度(即OP的长)的计算方法吗？1．实际测量中的有关名词、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线铅垂平面与地面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角α为坡角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比坡比：i＝仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角2．方位角从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)．方位角的取值范围：0°～360°.3．方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．()(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°．()(4)如图所示，该角可以说成北偏东110°.()[提示](1)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．(2)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得．(3)×.若P在Q的北偏东44°，则Q在P的南偏西44°.(4)×.题图中所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°B[因为△ABC为等腰三角形，所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°.即北偏西10°.]3．某人从A处出发、沿北偏西60°行走2km到达B处，再沿正东方向行走2km到达C处，则A，C两地的距离为________km.2[如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝2，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2×2×＝4，AC＝2，所以A，C两地的距离为2km.]4．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C两点之间的距离．[解]如图所示， ∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，∴由正弦定理＝，得＝，解得AC＝，即A，C两点之间的距离为千米.测量距离问题【例1】要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．[思路探究]将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．[解]如图所示，在△ACD中，∠ACD＝75°+45°＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝45°+30°＝75°，刚∠CBD＝60°.∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝()2＋－2×××cos75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为km.三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．[跟进训练]1．如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点观...
