压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量三角函数的图象与性质[典例]已知函数f(x)＝2sin2－cos2x，x∈．(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式－2＜f(x)－m＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．[解](1)f(x)＝2sin2－cos2x＝－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝1＋2sin，因为x∈，所以≤2x－≤，故2≤1＋2sin≤3，所以f(x)max＝f＝3，f(x)min＝f＝2．(2)因为－2＜f(x)－m＜2⇔f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈，所以m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2．又x∈时，f(x)max＝3，f(x)min＝2，所以1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．[方法点拨]本题求解的关键在于将三角函数f(x)进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f(x)的最值．[对点演练]已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)，g(x)＝tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)＝f2(x)＋2cos2x，当x∈时，h(x)的最小值为3，求a的值．解：(1)由题意得·π＝2π2，所以ω＝1．又A＝2g＝2tan＝2tan＝2，所以f(x)＝2sin．由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)h(x)＝f2(x)＋2cos2x＝×4sin2＋2cos2x＝3＋(cos2x＋1)＝3＋＋3sin2x＋cos2x＝3＋＋2sin．因为h(x)的最小值为3，令3＋＋2sin＝3⇒sin＝－．因为x∈，1所以2x＋∈，所以2a＋＝－，即a＝－．三角函数和解三角形[典例]已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，且＝．(1)求A的大小；(2)当a＝时，求b2＋c2的取值范围．[解](1)已知在△ABC中，＝，由正弦定理，得＝，即2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sinB，所以cosA＝，所以A＝60°．(2)由正弦定理，得＝＝＝2，则b＝2sinB，c＝2sinC，所以b2＋c2＝4sin2B＋4sin2C＝2(1－cos2B＋1－cos2C)＝2[2－cos2B－cos2(120°－B)]＝2[2－cos2B－cos(240°－2B)]＝2＝4＋2sin(2B－30°)．因为0°＜B＜120°，所以－30°＜2B－30°＜210°，所以－＜sin(2B－30°)≤1，所以3＜b2＋c2≤6．即b2＋c2的取值范围是(3,6]．[方法点拨]三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．[对点演练]已知函数f(x)＝2cos2x－sin．(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f(A)＝，b＋c＝2，求实数a的最小值．解：(1) f(x)＝2cos2x－sin＝(1＋cos2x)－＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin．∴函数f(x)的最大值为2．要使f(x)取最大值，则sin＝1，2∴2x＋＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z．故f(x)取最大值时x的取值集合为．(2)由题意知，f(A)＝sin＋1＝，化简得sin＝． A∈(0，π)，∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝．在△ABC中，根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc．由b＋c＝2，知bc≤2＝1，当且仅当b＝c＝1时等号成立．即a2≥1．∴当b＝c＝1时，实数a的最小值为1．平面向量[典例]若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A．－1B．1C．D．2[解析]法一：(目标不等式法)因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝．展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1．而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1．所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1，故|a＋b－c|的最大值为1．法二：(基向量法)取向量a，b作为平面向量的一组基底，设c＝ma＋nb．由|c|＝1，即|ma＋nb|＝1，可得(ma)2＋(nb)2＋2mna·b＝1，由题意，知|a|＝|b|＝1，a·b＝0．整理，得m2＋n2＝1．而a－c＝(1－m)a－nb，b－c＝－ma＋(1－n)b，3故由(a－c)·(b－c)≤0，得[(1－m)a－nb]·[－ma＋(1－n)b]≤0，展开，得m(m－1)a2＋n(n－1)b2≤0，即m2－m＋n2－n≤0，又m2＋n2＝1，故m＋n≥1．而a＋b－c＝(1－m)a＋(1－n)b，故|a＋b－c|2＝[(1－m)a＋(1－n)b]2＝(1－m)2a2＋2...
