第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.2导数的概念及其几何意义课后篇巩固提升基础达标练1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为()A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44解析Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=(2.1)2+1-(22+1)=0.41.答案B2.(2020江苏高二期末)函数f(x)=x2-sinx在[0,π]上的平均变化率为()A.1B.2C.πD.π2解析平均变化率为f(π)-f(0)π-0=π2π=π.故选C.答案C3.已知f(x)=-23x2,若f'(a)=13,则a的值等于()A.-14B.14C.-49D.34解析由导数的定义得f'(x)=limΔx→0-23(x+Δx)2-(-23x2)x+Δx-x=limΔx→0-43xΔx-23(Δx)2Δx=limΔx→0(-43x-23Δx)=-43x,因此f'(a)=-43a=13,则a=-14.答案A4.(2020宁夏育才中学高二期末)设函数y=f(x)的导函数为f'(x),若y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=()A.4B.3C.2D.1解析∵点P(1,f(1))在切线x-y+2=0上,∴1-f(1)+2=0,解得f(1)=3;又k=f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=4.故选A.答案A5.(多选)曲线y=9x在点P处的切线的倾斜角为3π4,则点P的坐标可能为()A.(3,3)B.(-3,-3)C.(9,1)D.(1,9)解析由导数定义得y'=limΔx→09x+Δx-9xΔx=limΔx→0¿-9x(x+Δx)=-9x2,若设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-9x02=tan3π4=-1,解得x0=±3,从而y0=±3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3).答案AB6.(2020安徽高二期末)已知f'(1)=-2,则limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx=.解析∵f'(1)=-2,∴limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)Δx=limΔx→0f(1-2Δx)-f(1)(-12)×(-2Δx)=-2limΔt→0f(1-2Δx)-f(1)-2Δx=-2f'(1)=-2×(-2)=4.答案47.曲线y=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程是.解析因为y=x2-2x+3,切点为A(-1,6),所以斜率k=y'x=-1=limΔx→0(-1+Δx)2-2(-1+Δx)+3-(1+2+3)Δx=limΔx→0¿(Δx-4)=-4,所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.答案4x+y-2=08.利用导数的定义求函数f(x)=√x+2在x=2处的导数.解∵Δy=√(2+Δx)+2−√2+2=√4+Δx-2,ΔyΔx=√4+Δx-2Δx=(√4+Δx-2)(√4+Δx+2)Δx(√4+Δx+2)=1√4+Δx+2.∴f'(2)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01√4+Δx+2=14.能力提升练1.已知函数y=f(x)=2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1+Δx,2+Δy),则ΔyΔx的值为()A.4B.4xC.4+2(Δx)2D.4+2Δx解析ΔyΔx=2(1+Δx)2-2×12Δx=4+2Δx.故选D.答案D2.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)等于()A.2B.3C.4D.5解析易得切点P(5,3),∴f(5)=3,k=-1,即f'(5)=-1.∴f(5)+f'(5)=3-1=2.答案A3.(多选)(2020广西高三期末)近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应效率(单位时间的供应量)不逐步提高的是()解析单位时间的供应量逐步提高时,供应量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,则曲线是上升的,且越来越陡,故选ACD.答案ACD4.若函数f(x)在x=0处的导数等于-2,则limΔx→0f(0+2Δx)-f(0)4Δx=.解析由已知得f'(0)=-2,则limΔx→0f(0+2Δx)-f(0)4Δx=12lim2Δx→0f(0+2Δx)-f(0)2Δx=12f'(0)=-1.答案-15.曲线f(x)=2x在x=2处的导数为,在点(-2,-1)处的切线方程为.解析f'(-2)=limΔx→0f(-2+Δx)-f(-2)Δx=limΔx→02-2+Δx+1Δx=limΔx→01-2+Δx=-12,∴切线方程为y+1=-12(x+2),即x+2y+4=0.答案-12x+2y+4=06.(2019四川仁寿一中高二期中)如图,函数f(x)的图象在点P处的切线为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)=.解析∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f'(2)=-2,又P(2,f(2))为切点,∴f(2)=-4+5=1,∴f(2)+f'(2)=-2+1=-1.故答案为-1.答案-17.已知曲线y=x2,(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.解(1)设切点为(x0,y0),∵y'x=x0=limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx=limΔx→0x02+2x0·Δx+(Δx)2-x02Δx=2x0,∴y'x=1=2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'x=x0=2x0,∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0),①再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y0=x02,②联立①,②得x0=1或x0=5.从而切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,此时切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,此时切线方程为y-25=10(x-5),即y=10x-25.综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为y=2x-1或y=10x-25.素养培优练已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及a的值.解设直线l与曲线相切于点P(x0,y0),则f'(x)=limΔx→0(x+Δx)3-2(x+Δx)2+3-(x3-2x2+3)Δx=3x2-4x.由导数的几何意义,得k=f'(x0)=3x02-4x0=4,解得x0=-23或x0=2,∴切点坐标为-23,4927或(2,3).当切点为-23,4927时,有4927=4×-23+a,∴a=12127.当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,∴a=-5,因此切点坐标为-23,4927或(2,3),a的值为12127或-5.
