高中数学 导数在函数中的应用习题课优质课件(选修1 1) 课件VIP免费

1．函数f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值解析f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．A2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)＝0D．不能确定解析因为f(x)在(a，b)上为增函数，所以f(x)>f(a)≥0.A3.设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为()A.－1B.0C.－239D.33解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝33，x2＝－33(舍去).当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：x00，333333，11g′(x)－0＋g(x)0↘极小值↗0所以当x＝33时，g(x)有最小值g33＝－239.C4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象.D5.若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件.解析对于导数存在的函数f(x)，若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，但f′(x)≤0.充分不必要题型一函数与其导函数之间的关系例1已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是()解析当00，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1,2)上为增函数，因此排除D.小结研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.跟踪训练1设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()解析当x<0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(－∞，0)上为增函数.当02时，f′(x)>0，∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数.由图象知应选D.答案D题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝1x，g(x)＝f(x)＋f′(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)讨论g(x)与g(x1)的大小关系.解(1)由题设易知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋1x，∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，∴g′(x)＝x－1x2.令g′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，∴x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而也是最小值点，∴最小值为g(1)＝1.(2)g1x＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g1x＝2lnx－x＋1x，则h′(x)＝－x－12x2.当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g1x，当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，∴h(x)在(0，＋∞)内单调递减，∴当0h(1)＝0，即g(x)>g1x；当x＝1时，g(x)＝g1x；当x>1时，h(x)ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减↘2(1－ln2＋a)单调递增↗故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－l...