高三数学一轮复习(8.7 立体几何中的向量方法Ⅰ-证明平行与垂直)课件VIP专享VIP免费

§8.7立体几何中的向量方法Ⅰ——证明平行与垂直基础知识自主学习要点梳理1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点做向量AP�＝ta，则此向量方程叫做直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.2对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP�＝1－tOA�＋tOB�，叫做空间直线的向量参数方程.2.用向量证明空间中的平行关系1设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1与l2重合⇔_________.2设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔______________________________________.3设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔________4设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔_________.v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥u.u1∥u23.用向量证明空间中的垂直关系1设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔___________________.2设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔_______.3设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔_____________________.v1⊥v2⇔v1·v2＝0v∥uu1⊥u2⇔u1·u2＝0[难点正本疑点清源]1.直线的方向向量实质上是与直线平行的非零向量，它有无数多个，平面的法向量也有无数个.2.利用空间向量解决立体几何中的平行问题1证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量，但要注意说明这两条直线不共线.2证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，但要说明直线不在平面内.②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线，也要说明直线不在平面内.③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.同时要注意强调直线不在平面内.基础自测1.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝1，0，－1，v2＝－2，0，2，则l1与l2的位置关系是A.平行B.相交C.垂直D.不确定解析 v2＝－2v1，∴v1∥v2.A2.已知平面α内有一个点M1，－1，2，平面α的一个法向量是n＝6，－3，6，则下列点P中在平面α内的是A.P2，3，3B.P－2，0，1C.P－4，4，0D.P3，－3，4解析 n＝6，－3，6是平面α的法向量,∴n⊥MP�，在选项A中，MP�＝1，4，1，∴n·MP�＝0.A3.已知点A,B,C∈平面，点P，则APAB�=0，且APAC�=0是APBC�=0的（）A解析由0,0APABAPAC��得0APABAC�,即0APCB�,亦即0APBC�,反之，若0APBC�，则0APACAB�APABAPAC�,未必等于04.已知a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是()A.a∥c，b∥cB.a∥b，a⊥cC.a∥c，a⊥bD.以上都不对解析 c＝(－4，－6，2)＝2(－2，－3，1)＝2a，∴a∥c，又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.C题型分类深度剖析题型一利用空间向量证明平行问题例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则M0，1，12，N12，1，1，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是MN�＝12，0，12，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．则n·1DA�=0且n·DB→＝0，得x＋z＝0，x＋y＝0.取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN�·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN�⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法二MN�＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→=12(D1A→－D1D→)＝12DA1→，∴MN�∥DA1→，又 MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，又 MN⊄平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.探究提高用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面...