一轮复习讲义一轮复习讲义椭圆1．椭圆的概念(1)第一定义：在平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的．集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集．忆一忆知识要点椭圆焦距a>ca＝cab>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形忆一忆知识要点范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2性质准线x＝±a2cy＝±a2c[难点正本疑点清源]椭圆方程中的a、b、c、e与坐标系无关，而焦点坐标、顶点坐标等与坐标系有关．因此确定椭圆方程需要三个条件，两个定形条件：a、b；一个定位条件：焦点坐标．(1)椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如右图)，它的三边长分别为a、b、c.易见c2＝a2－b2，且若记∠OF1B2＝θ，则cosθ＝ca＝e.(2)椭圆的定义中应注意常数大于F1F2.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于F1F2时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于F1F2时，其轨迹不存在．例1已知F1，F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，A，B分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P是椭圆上一点，OP∥AB，PF1⊥x轴，F1A＝10＋5，则此椭圆的方程是____________．求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程根据椭圆的几何性质，求出P的坐标，从而找到a与c的关系，由F1A＝a＋c＝10＋5，再求a.由于直线AB的斜率为－ba，故OP的斜率为－ba，直线OP的方程为y＝－bax.与椭圆方程x2a2＋y2b2＝1联立，解得x＝±22a.因为PF1⊥x轴，所以x＝－22a，解析解析从而－22a＝－c，即a＝2c.又F1A＝a＋c＝10＋5，故2c＋c＝10＋5，解得c＝5，从而a＝10.所以所求的椭圆方程为x210＋y25＝1.答案x210＋y25＝1求椭圆的标准方程常用方法为定义法、待定系数法．在利用待定系数法时，常结合椭圆性质、已知条件，列出关于a、b、c的方程，解之．探究提高已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为435和235，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．变式训练1解方法一设椭圆的标准方程是x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，两焦点分别为F1，F2，则由题意知2a＝PF1＋PF2＝25，∴a＝5.在方程x2a2＋y2b2＝1中令x＝±c得|y|＝b2a，在方程y2a2＋x2b2＝1中令y＝±c得|x|＝b2a，依题意并结合图形知b2a＝235.∴b2＝103.即椭圆的标准方程为x25＋3y210＝1或y25＋3x210＝1.方法二设椭圆的两焦点分别为F1，F2，且PF1＝453，PF2＝253，∴由椭圆定义知2a＝PF1＋PF2＝25，∴a＝5. PF1>PF2，由题意知△PF1F2为直角三角形，∴在△PF1F2中，sin∠PF1F2＝PF2PF1＝12，∴∠PF1F2＝π6.∴2c＝PF1·cosπ6＝253.∴b2＝a2－c2＝103.∴椭圆方程为x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.例2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)在△PF1F2中，使用余弦定理和PF1＋PF2＝2a，可求PF1·PF2与a，c的关系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出e的范围；(2)利用＝12PF1·PF2sin60°可证．椭圆的几何性质椭圆的几何性质21PFFS(1)解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，PF1＝m，PF2＝n，则m＋n＝2a.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋n22＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴c2a2≥14，即e≥12.又0
