—— 函数与导数的综合问题大 题 考 法四讲第利用导数解决与不等式有关的问题题型 ( 一 )主要考查不等式恒成立有关问题或不等关系证明的问题. [典例感悟] [例1] (2019·江苏高考)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R ，f′(x)为f(x)的导函数． (1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值； (2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值； (3)若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f(x)的极大值为M，求证：M≤ 427. [解] (1)因为a＝b＝c， 所以f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3. 因为f(4)＝8，所以(4－a)3＝8，解得a＝2. (2)因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，从而f′(x)＝3(x－b)x－2a＋b3. 令f′(x)＝0，得x＝b或x＝2a＋b3. 因为a，b，2a＋b3都在集合{－3，1，3}中，且a≠b， 所以2a＋b3＝1，a＝3，b＝－3. 此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)． 令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.列表如下： x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 极大值 极小值 所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32. (3)证明：因为a＝0，c＝1， 所以f(x)＝x(x－b)(x－1)＝x3－(b＋1)x2＋bx， f′(x)＝3x2－2(b＋1)x＋b. 因为0＜b≤1，所以Δ＝4(b＋1)2－12b＝(2b－1)2＋3>0， 则f′(x)有2个不同的零点，设为x1，x2(x1
