高中数学 椭圆的简单几何性质(2)优质课件(选修1 1) 课件VIP专享VIP免费

1.点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔；点P在椭圆内部⇔；点P在椭圆外部⇔.x20a2＋y20b2＝1x20a2＋y20b2<1x20a2＋y20b2>12.直线y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立y＝kx＋mx2a2＋y2b2＝1，消去y得到一个一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0，则有位置关系解的个数Δ的取值相交解Δ0相切解Δ0相离解Δ0两>一＝零<3.弦长公式设直线方程y＝kx＋m，椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0).直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2或|AB|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2.探究点一直线与椭圆的位置关系问题1已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答案直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式来判断.Δ>0⇔直线和椭圆相交；Δ＝0⇔直线和椭圆相切；Δ<0⇔直线和椭圆相离.问题2直线与椭圆的位置关系能否用中心到直线的距离来判断？答案不能.例1已知椭圆x225＋y29＝1，直线l：4x－5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？分析作出直线l及椭圆.观察图形，可以发现，利用平行于直线l且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离.解由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交.设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.①由方程组4x－5y＋k＝0，x225＋y29＝1，消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.②令方程②的根的判别式Δ＝0，得64k2－4×25(k2－225)＝0.③解方程③得k1＝25，或k2＝－25.由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.直线m与直线l间的距离d＝|40－25|42＋－52＝154141.所以，最小距离是154141.问题3如何求最大距离？答案由图可知，k＝－25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最大.小结本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.跟踪训练1在椭圆x24＋y27＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离.解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝32x＋m，代入x24＋y27＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为y＝32x＋4和y＝32x－4，显然y＝32x－4距l最近,d＝|16－8|32＋－22＝813，切点为P32，－74.探究点二直线与椭圆的相交弦问题问题直线与椭圆相交，怎样求相交弦的弦长？答案在相交弦问题中，一般不求出交点坐标，只是先设出交点坐标(设而不求思想)，然后利用根与系数的关系求弦长.设直线l：y＝kx＋m交椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x221＋y1－y2x1－x22＝x1－x22·1＋k2＝|x1－x2|·1＋k2.同理可得|P1P2|＝|y1－y2|·1＋1k2(k≠0).例2已知椭圆x236＋y29＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.(1)当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.解(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝12(x－4)，即y＝12x.由y＝12x，x236＋y29＝1，可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝0，x1x2＝－18.于是|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝x1－x22＋14x1－x22＝52x1＋x22－4x1x2＝52×62＝310.所以线段AB的长度为310.(2)方法一设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4).联立x236＋y29＝1，y－2＝kx－4，消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝32k2－16k1＋4k2，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以x1...