九年级数学图形变换与证明华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：图形变换与证明复习要求：我们学习平面几何知识从与现实生活相结合的意义上讲，会识别图形的移动，会实现一个平面图形的移动，是一个实现平面几何价值的问题，因此新的课程标准对平面几何中的图形变换提到了较高的学习要求，要求学生会按照要求对图形作相应的移动；会识别图形经过移动后的图形关系；会利用图形变换解决一些几何问题或与现实生活相结合的问题。对图形变换问题的认识：我们在这里所说的变换是指：全等变换、位似变换、等积变换。全等变换：平衡、轴对称、旋转位似变换：可化为相似形等积变换：面积相等或有比值关系的问题【典型例题】1.图形的轴对称、平移及旋转：在图形的移动中，利用“轴对称、平移、旋转”等变换实现移动的目的，是较基本的，也是较灵活的方法，因此，也就是我们应该掌握并会应用的方法。例1.请你不借助作图工具画一个三角形的高线。简析：一般讲我们画三角形的高线采取的方法是：过已知边所对的顶点，用三角板画一条与已知边相垂直的线段。但是此例要求不借助作图工具，即不借助直尺、三角板、圆规等直接画高线。这时要考虑画高线关键在于确定垂足，如果画出垂足就可以实现画高线。根据我们所学的轴对称关系的性质可知，它可以提供垂直关系。简解：如图，已知。作的BC边上的高。方法：把点C沿CB边对折，使折痕经过点A，且点C落在BC的点处，则折痕AD就是所要求画的高。例2.如图，矩形ABCD中，折叠AD边，使点D落在BC边上的F点处，若折痕AE=cm，且，求矩形ABCD的周长。简析：若求矩形的周长就需要知道它的边长，根据已知条件可知，只知折痕长及折叠后的一个角的正切值，因此，我们要理解折叠在题中所起的作用以及折叠后可能形成的图形关系。解：根据题意AD边对折，点D落在BC边上的点F处，有DE=FE，AE=AE，AD=AF因为在矩形ABCD中，例3.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是的中点，P是半径ON上一动点，当MN=2时，求AP+BP的最小值。简析：要求AP+BP的最小值，因为P是半径ON上的一动点，实现起来很困难。这时需要理解两条线段之和最小的含义是什么，以及怎样才能实现这个目的。而我们知道有两个距离最短的知识，其一为“连结两点的所有的线中线段最短”；其二为“直线外一点到该直线的垂线段最短”。由于涉及到两个点，所以无法用“其二”去实现，因此，需要把问题转化为“其一”的情况求解。解：过点A作弦于D，交⊙O于C。连接BC交MN于P，连结AP。（如图）则PA+PB最短。因为于D，且MN是⊙O的直径所以点A与点C关于MN所在直线成轴对称因此PA=PC及即PA+PB=BC若设点是ON上任意一点所以PA+PB最短连结OB、OC因为点A是半圆上的三等分点，点B是的中点由勾股定理，有因OC=OB=1所以说明：例2、例3说明了轴对称知识在解决几何问题中或实际问题中的作用，它们的主要作用在于可以实现移动图形，从而构成新的图形关系，进而沟通已知与未知的关系，达到求解的目的。例4.如图，在方格纸中，图I移动到图II，请说明图I经过怎样的平移移动到图II的。简析：要判断是如何平移的，就要清楚平移的图形具有怎样的性质。由平移的知识可知，平移后的图形与原图形之间的对应边相互平行。说明：情况一：可以理解为图I向右平移三个单位，再向下平移两个单位，就达到图II的位置；情况二：图I向下平移两个单位，再向右平移三个单位，形成图II；情况三：图I的三个顶点分别沿对角线方向平移到图II对应点的位置。例5.如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，于F。求证：。简析：要求一个梯形的面积，根据相应的知识可知，要确定上、下两底之和及梯形的高，因此例要研究的是梯形面积等于一腰及一垂线之积，所以要考虑什么样的图形只需要两条线段的乘积就可获得面积，这一类图形至少是平行四边形。证明：过E作GH//DC交DA延长线及CB于G、H因AD//BC故四边形GHCD是平行四边形且又E是AB中点，有AE=EB所以又因例6.如图，D是的BC边中点，过D作直线交AB、CA延长线于E、F，当AF=AE时。求证：BE=FC。简析：根据图形条件与已知中的AE=AF在同一三角形，BD=CD不在同一三角形里，且要证明的结论BE与CF也不在同一三角形...
