第九节直线与圆锥曲线的位置关系A组基础题组1.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条2.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,)B.(1,]C.(,+∞)D.[,+∞)3.过点的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,O为坐标原点,则·的值为()A.-B.-C.-4D.无法确定4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为()A.B.C.2D.35.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为.6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为60°的直角l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于.7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e=,P为椭圆上任一点,且△PF1F2的最大面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,且以AB为直径的圆恒过原点O,求△OAB的面积.8.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F(1,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OM⊥ON,求直线l的方程.B组提升题组9.(2016四川,20,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.10.设抛物线过定点A(-1,0),且以直线x=1为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M,N,且线段MN恰被直线x=-平分,设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m,试求m的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B设该抛物线焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|=xA++xB+=xA+xB+1=3>2p=2,所以符合条件的直线有且只有两条.2.C双曲线的一条渐近线方程为y=x,由题意得>2,∴e==>=.3.B由题意知直线l的斜率存在.设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l的方程为y=kx-,代入抛物线方程得2x2+2kx-1=0,由此得∴·=x1x2+y1y2=x1x2+=(k2+1)·x1x2-k·(x1+x2)+=-(k2+1)-k·(-k)+=-.故选B.4.A由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2,y2=2,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设x1x2.由直线l的倾斜角为60°,且过点F,得直线l的方程为y-0=,即y=x-p,联立消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,则x1=p,x2=p,则==3.7.解析(1)e==,设P(x0,y0),△PF1F2的面积S=|y0|c,又|y0|≤b,所以最大面积为bc=1,则b=c=1,a=,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y并整理得2x2+2mx+2m2-2=0,则由题意知·=x1x2+y1y2=0,又y1y2==x1x2+m(x1+x2)+m2,所以·=x1x2+m(x1+x2)+m2=m2-=0,解得m=±1.则|AB|=·=,因为原点到直线l的距离为=,所以S△AOB=××=.8.解析(1)依题意可得解得a=,b=1,所以椭圆E的标准方程为+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),①当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意;②当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1).联立消去y并整理,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,所以x1+x2=,x1·x2=.所以y1·y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=.因为OM⊥ON,所以·=0,所以x1·x2+y1·y2==0,所以k=±,所以直线l的方程为y=±(x-1).B组提升题组9.解析(1)由已知,a=2b.又椭圆+=1(a>b>0)过点P,故+=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①方程①的判别式为Δ=4(2-m2),由Δ>0,即2-m2>0,解得-
